Stauch war Schüler von Willy Mattes und W. Forcks an der Musikakademie in Berlin, die später in der Universität der Künste Berlin aufgegangen ist. Nach abgeschlossenem Studium komponierte er Operetten und Unterhaltungsmusik. Er schrieb darüber hinaus für über 20 Film- und Fernsehproduktionen die Filmmusik. Seine Tätigkeit begann er 1933. Ab den 1950er Jahren war er vor allem an Märchenfilmen von Fritz Genschow beteiligt. Seine letzten Filmarbeiten stammen aus den 1960er Jahren.
Operetten (Auswahl)
1936 Die Tatarin, Operette in drei Akten, Richard Stauch, Marion Halvorsen, Berlin 1936