Williams wurde in der Schweiz als Sohn des US-amerikanischen Anwalts Duane Williams (1860–1912) und dessen Frau Lydia Biddle White (1864–1946) geboren. Die Eltern waren wegen gesundheitlicher Probleme des Vaters in die Schweiz und in die Nähe von Heilbädern gezogen. Im Jahr 1911 wurde Williams Schweizer Meister im Tennis.
Im April 1912 schifften Sohn und Vater als Passagier Erster Klasse des Luxusdampfers Titanic ein. Richard wollte in Harvard studieren und in den USA Tennis spielen. Vater Duane und Richard halfen anderen Passagieren nach der Kollision mit dem Eisberg in die Rettungsboote. Als es keine Boote mehr hatte, waren die beiden immer noch auf dem Schiff. Sein Vater kam bei dem Unglück ums Leben; er wurde von einem der niederstürzenden Schornsteine erschlagen. Vor dem Untergang sprang Williams ins Meer. Nach dem Untergang des Schiffes hielt sich Williams sechs Stunden im eiskalten Wasser an einem gekenterten Rettungsboot fest, ehe er gerettet wurde.[1]
Der Arzt an Bord des Passagierschiffes Carpathia, welches Williams rettete, riet ihm die Beine aufgrund der Erfrierungen amputieren zu lassen – eine damals gängige Maßnahme bei schwerwiegenden Erfrierungen dieser Art. Williams widersetzte sich jedoch dieser Empfehlung und gesundete vollständig. Bereits Monate später erreichte er das Viertelfinale der US Open und unterlag dem späteren Sieger Maurice McLoughlin. Am 18. Juli 1912 traf er erstmals in einem Turnier in Boston auf Karl Howell Behr, den er nach dem Untergang der Titanic auf der Carpathia kennengelernt hatte.[2]
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