Nach seiner Schulzeit begann er seine berufliche Laufbahn auf dem Gebiet des Ingenieurwesens, entschied sich im Alter von 27 Jahren aber für einen Wechsel in die Musik. Er studierte am Konservatorium in Graz und wurde nach erfolgreichem Abschluss 1902 mit der Leitung des Akademischen Gesangvereins in Wien betraut. Später übernahm Heuberger auch die Direktion der Wiener Singakademie. Von 1902 bis 1909 lehrte er außerdem am Konservatorium der Gesellschaft der Musikfreunde in Wien.
Richard Heuberger machte sich auch als Musikkritiker verschiedener Zeitungen einen Namen, zunächst beim Neuen Wiener Tagblatt, danach ab 1899 bei der Allgemeinen Zeitung (München). Im Jahre 1896 übernahm er die Nachfolge Eduard Hanslicks als Musikkritiker bei der Wiener Neuen Freien Presse. Nebenher war er als freier Journalist, ab 1904 Redakteur und Herausgeber u. a. der Neuen Musikalischen Presse, tätig. Er verstarb 1914 in Wien und ist in der Hinterbrühl begraben.