René Bourque begann seine Karriere als Eishockeyspieler im Jahr 2000 im Eishockeyteam der University of Wisconsin–Madison, den Wisconsin Badgers in der Western Collegiate Hockey Association. Nach vier Jahren verließ Bourque die Universitätsmannschaft und unterschrieb am 29. Juli 2004 einen Vertrag beim NHL-Klub Chicago Blackhawks, ohne vorher je gedraftet worden zu sein. Für die Saison 2004/05, während des Lockout in der NHL, erhielt Bourque einen Vertrag bei den Norfolk Admirals aus der American Hockey League, dem damaligen Farmteam Chicagos. Für die Admirals spielte er in seiner ersten Profisaison in 78 Spielen und erreichte mit seinem Team die Playoffs. Mit 33 Saisontoren sorgte Bourque für einen Franchise-Rekord. Zudem konnte er 27 Assists beisteuern.
In den folgenden drei Spielzeiten war Bourque Stammspieler in der National Hockey League für Chicago. Einzig in der Saison 2006/07 spielte er noch einmal in der AHL für die Admirals. Am 1. Juli 2008 wurde Bourque im Tausch gegen ein zukünftiges Wahlrecht bei einem NHL Entry Draft an die Calgary Flames abgegeben.
Bei den Ducks blieb Bourque nur wenige Monate, bis er im März 2015 samt William Karlsson und einem Zweitrunden-Wahlrecht im NHL Entry Draft 2015 an die Columbus Blue Jackets abgegeben wurde. Die Ducks erhielten im Gegenzug James Wisniewski und ein Drittrunden-Wahlrecht im gleichen Draft. Bei den Blue Jackets beendete Bourque die Saison, erhielt jedoch keinen weiterführenden Vertrag. In der Folge schloss er sich probeweise der Colorado Avalanche an, die ihn dann im Oktober 2016 mit einem Einjahresvertrag ausstatteten. Nach Auslauf des Vertrags wechselte der Kanadier im August 2017 zu Djurgårdens IF in die Svenska Hockeyligan.
International
Auf internationalem Niveau debütierte Bourque bei der Weltmeisterschaft 2010 in Deutschland und kam dabei auf sieben Einsätze für die kanadische Auswahl, die am Turnierende den siebten Rang belegte. Acht Jahre später gehörte er dem olympischen Aufgebot Kanadas an, das – ohne Spieler aus der NHL – bei den Winterspielen 2018 die Bronzemedaille gewann.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)