Der gebürtige Litauer begann seine aktive Profi-Karriere bei Granitas Kaunas, mit denen er in der Saison 2006/07 im EHF Challenge Cup sein internationales Debüt gab. 2007/08 nahm er mit den Hauptstädtern erneut am Challenge Cup und ein Jahr später sogar an der Gruppenphase der EHF Champions League teil. Im Jahr 2010 wechselte er nach Österreich zu HIT Innsbruck. Nachdem er in der Spielzeit 2011/12 mit den Tirolern den Vizemeistertitel holen konnte, wechselte er zu Bregenz Handball nach Vorarlberg. Zwischen 2015/16 und 2016/17 lief Babarskas für RK Celje aus Slowenien auf.[4]2017/18 wurde er wieder von Bregenz Handball unter Vertrag genommen.[5] Im Sommer 2021 wechselte er zum deutschen ZweitligistenTV Großwallstadt.[6] Dort beendete er nach der Saison 2022/23 seine Karriere.[7]
Babarskas trainiert die A-Jugend des TV Großwallstadt. Ab Januar 2024 war er zusätzlich als Co-Trainer der ersten Mannschaft tätig.[9] Im September 2024 übernahm er interimsweise das Traineramt der Zweitligamannschaft.[10]
