Pentakisdodekaeder

Polyeder Pentakisdodekaeder

3D-Ansicht eines Pentakisdodekaeders (Animation)
Anzahl der Seitenflächen	60
Art der Seitenflächen	60 gleichschenklige Dreiecke
Anzahl Ecken	32
Art der Ecken	32 × {3.3.3.3.3}
Anzahl Kanten	90
Schläfli-Symbol
dual zu	Ikosaederstumpf

Netz des Pentakisdodekaeders

Das Pentakisdodekaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Ikosaederstumpf und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten. Der Name setzt sich aus den griechischen Wörtern πεντάκις (pentakis, fünffach) und δωδεκάεδρον (dodekaedron, Zwölfflächner) zusammen.

Entstehung

Als Grundkörper dient quasi das Dodekaeder mit Seitenlänge $a$ , auf dessen 12 Begrenzungsflächen je eine Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche und der Flankenlänge $b$ aufgesetzt wird. Ein Pentakisdodekaeder entsteht genau dann aus dieser Konstruktion, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

{\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}

Für den zuvor genannten minimalen Wert von $b$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Dodekaeder mit der Kantenlänge $a$ übrig bleibt.
Das spezielle Pentakisdodekaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn $b={\tfrac {3}{38}}\,a\,(9+{\sqrt {5}})\approx 0{,}887058\cdot a$ ist.
Nimmt $b$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Pentakisdodekaeder zu einem Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge $b$ .
Überschreitet $b$ den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für $b={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$ zum Dodekaederstern.

Formeln

Allgemein

Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlängen a, b^[1]
Volumen	$V={\frac {a^{2}}{4}}\left(a\left(15+7{\sqrt {5}}\right)+2{\sqrt {\left(10+4{\sqrt {5}}\right)\left(10b^{2}-a^{2}(5+{\sqrt {5}})\right)}}\right)$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=15a\,{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$
Pyramidenhöhe	$k={\sqrt {b^{2}-{\frac {a^{2}}{10}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$
Inkugelradius	$\rho \,={\frac {a\,{\sqrt {(14+6{\sqrt {5}})(a+2b)^{2}-4(4b^{2}-a^{2})}}}{4a+8b}}$
Flächenwinkel (über Kante a)	$\cos \,\alpha _{1}={\frac {4b^{2}{\sqrt {5}}-a^{2}(4+3{\sqrt {5}})-4a{\sqrt {4b^{2}(5+2{\sqrt {5}})-2a^{2}(7+3{\sqrt {5}})}}}{5(4b^{2}-a^{2})}}$
Flächenwinkel (über Kante b)	$\cos \,\alpha _{2}={\frac {b^{2}(1-{\sqrt {5}})-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}$

Speziell

Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlänge a^[2]
Volumen	$V={\frac {15}{76}}\,a^{3}(23+11{\sqrt {5}})$
Oberflächeninhalt	$A_{O}={\frac {15}{19}}\,a^{2}{\sqrt {413+162{\sqrt {5}}}}$
Pyramidenhöhe	$k={\frac {a}{19}}{\sqrt {\frac {65+22{\sqrt {5}}}{5}}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {3}{2}}\,a\,{\sqrt {\frac {81+35{\sqrt {5}}}{218}}}$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)$
Flächenwinkel ≈ 156° 43′ 7″	$\cos \,\alpha ={\frac {-1}{109}}\,(80+9{\sqrt {5}})$
Sphärizität ≈ 0,97948	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{5700\,\pi \left(567+253{\sqrt {5}}\right)}}{10{\sqrt {413+162{\sqrt {5}}}}}}$

Anmerkungen

↑ ${\tfrac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}<b<{\tfrac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
↑ $b={\tfrac {3}{38}}\,a\,(9+{\sqrt {5}})$ ; $a>b$

Weblinks

Commons: Pentakisdodekaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: Pentakisdodekaeder. In: MathWorld (englisch).

Read other articles:

Alejo Carpentier

Dalam artikel ini, pertama atau paternal nama keluarganya adalah Carpentier dan nama keluarga maternal atau keduanya adalah Valmont. Alejo CarpentierLahirAlejo Carpentier Valmont(1904-12-26)26 Desember 1904Lausanne, SwissMeninggal24 April 1980(1980-04-24) (umur 75)Paris, PrancisMakamColon Cemetery, HavanaKebangsaanCubaKarya terkenalEl reino de este mundoPenghargaanMiguel de Cervantes Prize 1977 Alejo Carpentier y Valmont (pengucapan bahasa Spanyol: [karpanˈtje], penguc...

Capitale européenne de la culture

Pour les articles homonymes, voir capitale de la culture. Capitale européenne de la culture Lieu 2024 : Tartu (Estonie) Salzkammergut (Autriche) Bodø (Norvège) Période Annuelle Date de création 1985 Tutelle Union européenne Site web Capitales européennes de la culture modifier La capitale européenne de la culture est une ville hôte désignée par l'Union européenne pour une période d'une année civile durant laquelle un programme de manifestations culturelles est ...

Halifax, Nova Scotia

Capital and most populous municipality of Nova Scotia, Canada Regional municipality in Nova Scotia, CanadaHalifaxRegional municipalityHalifax Regional MunicipalityFrom top, left to right: Downtown Halifax skyline, Macdonald Bridge, Crystal Crescent Beach, Peggy's Cove, Central Library, Sullivan's Pond FlagCoat of armsLogoMotto(s): E Mari Merces (Latin)From the Sea, WealthLocation in Nova ScotiaHalifaxLocation in CanadaCoordinates: 44°38′51″N 63°35′26″W / ...

Helen George

English actress For the British artist and sculptor, see Helen Margaret George. Helen GeorgeGeorge in 2015BornHelen Elizabeth George (1984-06-19) 19 June 1984 (age 39)Birmingham, West Midlands, England[1]OccupationActressYears active2006–presentSpouse Oliver Boot (m. 2011; div. 2015)PartnerJack Ashton (2016–2023)Children2 Helen Elizabeth George (born 19 June 1984) is an English actress, best known for playing Trixie Fra...

Paleoproterozoikum

Paleoproterozoikum adalah era geologi pertama dalam eon Proterozoikum yang berlangsung antara 2500 hingga 1600 juta tahun yang lalu. Benua-benua pertama kali stabil pada era ini. Era ini juga merupakan era berkembangnya Cyanobacteria, suatu tipe bakteri yang menggunakan proses biokimia fotosintesis untuk menghasilkan energi dan oksigen. Era ini dibagi menjadi empat periode: Siderium, Riasium, Orosirium, dan Staterium. Sebelum adanya peningkatan berarti oksigen atmosferik, hampir semua bentuk ...

Tanjung Raja, Ogan Ilir

Tanjung RajaKecamatanNegara IndonesiaProvinsiSumatera SelatanKabupatenOgan IlirPemerintahan • CamatBenhur Sayuti, S.Sos, M.SiPopulasi • Total42,080 jiwa (2.012) jiwaKode Kemendagri16.10.03 Kode BPS1610040 Desa/kelurahan15 desa, 4 Kelurahan Dua orang Belanda dalam taman Van Limburg Stirum di jalan dari Tanjung Raja ke Palembang (1926) Tanjung Raja adalah sebuah kecamatan tertua di Kabupaten Ogan Ilir, Sumatera Selatan, Indonesia. Awal mulanya kecamatan ini meliputi...

Éverton Santos da Costa

Éverton Santos da Costa Nazionalità Brasile Altezza 180 cm Peso 77 kg Calcio Ruolo Attaccante Termine carriera 2015 Carriera Squadre di club1 2006 ADAP/Galo Maringá? (?)2007→ Grêmio? (?)2008→ Paulista? (?)2008-2009→ Fredrikstad34 (6)2010-2011 Caxias0 (0)[1]2010→ Internacional10 (0)2010→ Bahia11 (2)2011-2013 Coritiba47 (4)[2]2013 Santos17 (2)2014 Vasco da Gama0 (0)[3]2015 Coritiba0 (0) 1 I ...

Pompa volumetrica

Si dice pompa volumetrica un tipo di pompa che sfrutta la variazione di volume in una camera per provocare un'aspirazione o una spinta su un fluido. La portata erogata è indipendente dalla prevalenza ed è invece direttamente proporzionale alla velocità di spostamento. Il cuore dell'uomo e degli animali è una pompa di questo tipo. le pompe volumetriche si dividono in: rotative; alternative; Indice 1 Pompe volumetriche rotative 1.1 A ingranaggi 2 A lobi 3 A palette e scroll 4 Pompe volumetr...

Piala Raja Spanyol 2019–2020

Piala Raja Spanyol 2019–2020Negara SpanyolJumlah peserta125Juara bertahanValenciaJuaraReal SociedadTempat keduaAthletic BilbaoJumlah pertandingan123Jumlah gol345 (2.8 per pertandingan)Pencetak gol terbanyak Alexander Isak(Real Sociedad)(5 gol)← 2018–2019 2020–2021 → Seluruh statistik akurat per 13 Februari 2020. Piala Raja Spanyol 2019–2020 adalah edisi ke-116 dari penyelenggaraan Piala Raja Spanyol, turnamen sepak bola di Spanyol dengan sistem piala. Final Artikel utama: Fin...

2020 V.League 1

64th season of the highest division of association football in Vietnam Football league seasonLS V.League 1 - 2020Season2020Dates7 March – 8 NovemberChampionsViettel1st VL1 title6th Vietnamese titleRelegatedQuang NamMatches played126Goals scored319 (2.53 per match)Top goalscorerPedro PauloRimario Gordon(12 goals)Biggest home winBecamex Binh Duong 5–0 Haiphong(11 June 2020)SHB Da Nang 6–1 Quang Nam(11 June 2020)Biggest away winHoang Anh Gia Lai 0–4 Hanoi(15 October 2020)Highest sco...

大字 (数字)

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています（詳細）。数字の大字（だいじ）は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字（小字）の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。概要壱万円日本銀行券（「壱」が大字）弐千円日本銀行券（「弐」が大字）漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

Angel Fashion

Puerto Rican professional wrestler Angel FashionPérez in May 2017Birth nameAngel L.Perez RomanBorn (1987-12-14) December 14, 1987 (age 36)Humacao, Puerto RicoProfessional wrestling careerRing name(s)La ModaAngel FashionAngel PérezBilled height6 ft 0 in (1.83 m)Billed weight200 lb (91 kg)Billed fromOrlando, FloridaTrained byShane Sewell Armando Gorbea Savio VegaDebut2005 Angel L. Pérez Roman (born December 14, 1987) is a Puerto Rican professional wrestler. Ange...

美国众议院

此條目需要补充更多来源。 (2021年7月4日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：美国众议院 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。美國眾議院 United States House of Representatives第118届美国国会众议院徽章众议院旗...

Бровары (аэропорт)

У этого термина существуют и другие значения, см. Бровары (значения). Здание аэровокзала «Бровары», 1940 год. Самолёт ПС-89 над аэродромом Киев-Бровары, 1940 год. «Бровары», Броварской аэропо́рт «Ки́ев», «Киев-Бровары» — аэропорт, который существовал около города Бровары. В п...

SDL Trados Studio

SDL Trados Studio Tipeperusahaan bisnis dan perangkat lunak Versi pertama1984 GenreComputer-assisted translationLisensiCommercialKarakteristik teknisSistem operasiMicrosoft Windows Format kodeDaftarTRADOStag XML, SDL Trados Studio Project Package dan SDL Trados Studio Project Format berkasDaftarTRADOStag XML, SDL Trados Studio Project Package dan SDL Trados Studio Project Informasi tambahanSitus webhttps://www.trados.com/ Sunting di Wikidata • Sunting kotak info • L • BB...

Bangladeshis in Malaysia

Ethnic group Malaysians of Bangladeshi originমালয়েশিয়ায় বাংলাদেশিTotal population1,000,000 (2018 est.)[1]Regions with significant populationsPeninsular MalaysiaLanguagesBengali, Malaysian, EnglishReligionIslam and HinduismRelated ethnic groupsBangladeshi diaspora The Bangladeshi Malaysians consists of people of full or partial Bangladeshi descent who were born in or immigrated to Malaysia. Bangladeshis in Malaysia form a large proportion...

كليرمونت (داكوتا الجنوبية)

لمعانٍ أخرى، طالع كليرمونت (توضيح). كليرمونت الإحداثيات 45°40′21″N 98°00′57″W / 45.6725°N 98.015833333333°W / 45.6725; -98.015833333333 [1] تقسيم إداري البلد الولايات المتحدة[2] التقسيم الأعلى مقاطعة براون خصائص جغرافية المساحة 0.663166 كيلومتر مربع0.663167 كيل�...

حي العدل

حي العدل - حي سكني - سوق العدل المركزي تقسيم إداري البلد العراق المحافظة محافظة بغداد القضاء قضاء الكرخ خصائص جغرافية إحداثيات 33°19′56″N 44°20′05″E / 33.3321226°N 44.3348360°E / 33.3321226; 44.3348360 تعديل مصدري - تعديل حي العدل هو أحد المناطق الإدارية والأحياء الرئ...

加斯帕尔·德·古兹曼

加斯帕尔·德·古兹曼騎馬狩獵的奥利瓦雷斯，大師委拉斯開茲繪出生1587年1月6日罗马逝世1645年7月22日（58歲）托罗母校萨拉曼卡大学职业政治人物、军人雇主萨拉曼卡大学朝代House of Olivares 加斯帕尔·德·古兹曼-皮门特尔·里韦拉-贝拉斯科·德·托瓦尔，通稱「奥利瓦雷斯伯-公爵」（西班牙語：Gaspar de Guzmán y Pimentel Ribera y Velasco de Tovar，Co...

Battle of Harpsdale

Scottish clan battle fought in 1426 at Achardale, about 8 miles south of Thurso Battle of HarpsdalePart of the Scottish clan warsHarpsdale in modern timesDate1426LocationHarpsdale, south of Halkirk, Caithnessgrid reference ND114561 [1]58°29′N 3°31′W / 58.483°N 3.517°W / 58.483; -3.517Result Inconclusive.Belligerents Clan Mackay Clan GunnCommanders and leaders Angus Mackay UnknownStrength Unknown UnknownCasualties and losses High High vteClan Mackay-Clan...

/profillengkap.com/index.php/article/SS Thomas Ruffin

Stockelsdorf

The Left-Hander (opera)

Nahapet

1970 Faroese general election

2018 Big Ten men's basketball tournament

Élections cantonales de 2004 dans le Loiret

Passeport

Gyrobus

Coquitlam (electoral district)

Ali Meçabih

Park Gok-ji