O’Donnell, jüngstes von sechzehn Kindern eines Textilhändlers, studierte am Jesuitenkolleg in Limerick und an der Päpstlichen Universität Urbaniana. Er empfing am 15. April 1922 in der Lateranbasilika die Priesterweihe durch KardinalvikarBasilio Pompilj und wurde ins australische Bistum Sale entsandt, wo mit Patrick Phelan ein Freund seiner Familie als Bischof amtierte. Er wirkte als Kurat und Gemeindepfarrer und erwarb sich ab den 1930er-Jahren einen Ruf als wortgewandter Prediger. 1941 stieg O’Donnell zum Generalvikar der Diözese auf. 1947 reiste er mit dem Apostolischen Delegaten Giovanni Panico nach Europa und traf dort unter anderem Angelo Roncalli, den späteren Papst Johannes XXIII.
Am 10. April 1965 wurde O’Donnell als Nachfolger des verstorbenen James Duhig neuer Erzbischof von Brisbane. Persönlich konservativ, zögerte er, die Reformen des Zweiten Vatikanischen Konzils umzusetzen, und entschied sich, diesen Prozess innerhalb des Erzbistums lediglich zu moderieren. Die diözesane Kurie wurde in der Amtszeit O’Donnells jedoch modernisiert und effizienter.
Papst Paul VI. nahm am 5. März 1973 sein altersbedingtes Rücktrittsgesuch an. Patrick Mary O’Donnell starb im November 1980 und wurde in der Kathedrale St. Stephen beigesetzt.