Vlasák besuchte die Fakultät für Maschinenbau der Tschechischen Technischen Hochschule in Prag und wurde Ingenieur am Institut für Technik und Umwelt. Er arbeitete als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Forschungsinstitut für Lebensmittel- und Kühltechnik und bei Kovoprojekt in Prag. Von 1989 bis 1993 war er Direktor von Bohemian Waste Management, danach war er bis 1998 Direktor von East Bohemian Airport. Ferner war er Freiwilliger der Bergwacht.
Vlasák war langjähriges Mitglied des Exekutivrates der ODS. 1994 wurde er erstmals in die Stadtvertretung von Hradec Králové gewählt. Von 1998 bis 2004 war er Oberbürgermeister seiner Heimatstadt. Ferner war er Vorsitzender des Bundes der Städte und Gemeinden der Tschechischen Republik und dort zuständig für die Zusammenarbeit mit dem Ausland. 2004 wurde er erstmals in das Europäische Parlament gewählt.
Vor dem Beitritt Tschechiens in die Europäische Union war Vlasák Vorsitzender für die NUTS-II-Region Nordost und Mitglied des Ausschusses der Regionen. 2000 wurde er geschäftsführender Vorsitzender des Rates der Gemeinden und Regionen Europas. Seit 2006 war er Mitglied des Internationalen Gemeindeverbands, ferner gehört er dem Weltverband Vereinigter Städte und lokaler Gebietskörperschaften an.