Norbert Weis entstammt einer alten katholischen Familie, aus der auch der ehemalige Speyerer Bischof Nikolaus von Weis hervorging. Sein direkter Großonkel (Bruder seines Großvaters) war der bayerische Feldgeistliche Jakob Weis.
Nach der Amtseinführung des neuen Speyerer Bischofs Karl-Heinz Wiesemann übernahm Norbert Weis 2008 das Amt des Generalvikars der Diözese Speyer, kehrte jedoch – wie von ihm gewünscht – ein Jahr später wieder auf seinen Posten als Offizial und Stellvertretender Generalvikar zurück. Letzteres Amt gab er Ende 2012 ab, blieb aber weiterhin Offizial.
Neben dieser Tätigkeit ist er Seelsorger der Schwestern am Kloster St. Magdalena (Speyer) und betreut als regelmäßiger Zelebrant die diözesane Gemeinde des tridentinischen Messritus in der Stiftskirche Neustadt an der Weinstraße.