Der Stürmer Budai, der von 1953 bis 1958 bei Budapest Honvéd FC unter Vertrag stand, spielte als ungarischer Nationalspieler in zwei Partien der Fußball-Weltmeisterschaft 1954: Beim 9:0-Sieg seiner Mannschaft über Südkorea am 17. Juni 1954 und beim 4:2-Halbfinalsieg Ungarns über Uruguay am 30. Juni 1954. Im Endspiel gegen Deutschland spielte an seiner Stelle allerdings Mihály Tóth als Linksaußen neben Puskás. Bei der Fußballweltmeisterschaft 1958 in Schweden wurde er nur einmal eingesetzt: Beim 4:0-Sieg seiner Mannschaft gegen Mexiko am 15. Juni 1958. Diese WM verlief enttäuschend, da die Ungarn nach der Vorrunde die Heimreise antreten mussten. Die große Zeit der goldenen Elf war vorbei. Insgesamt verzeichnete er 39 Einsätze im Nationaltrikot und erzielte dabei zehn Tore.
Nach der Karriere als Spieler arbeitete er von 1962 bis 1967 bei ETI SC als Trainer, von 1967 bis 1980 trainierte er Kossuth KFSE.
Die beiden Medaillen, die László Budai 1952 (Olympiagold in Helsinki) und 1954 (WM-Silber in Bern) erkämpfte, wurden im SchweizerAuktionshaus Peter Rapp in Wil für je 10.800 Franken aus seinem Nachlass versteigert.[2][3][4]