Bergelin gewann in seiner Laufbahn 20 Einzeltitel, darunter neunmal die schwedische Meisterschaft, und gehörte zwischen 1945 und 1955 zu den besten Amateurtennisspielern. 1948 gewann er bei den French Open den Wettbewerb im Herrendoppel zusammen mit Jaroslav Drobný und wurde dadurch zum ersten schwedischen Tennisspieler, der einen Titel bei einem Grand-Slam-Turnier gewann.
Nach seiner Karriere als Tennisspieler wurde Bergelin Trainer und war von 1971 bis 1976 Kapitän des schwedischen Davis-Cup-Teams. In diese Zeit fiel 1975 auch der erste Sieg Schwedens im Davis Cup, als Björn Borg, Birger Andersson, Ove Bengtson und Rolf Norberg im Finale die Mannschaft aus der Tschechoslowakei besiegten.
Bergelin war von 1971 bis 1983 Trainer des fünfmaligen Wimbledon-Siegers Björn Borg, den er für den Davis Cup entdeckte und bei elf Grand-Slam-Siegen betreute.
