Die Kiepert-Hyperbel eines Dreieck, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.
An den Seiten eines Dreiecks △ △ --> A B C {\displaystyle \triangle ABC} werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke △ △ --> A B F {\displaystyle \triangle ABF} , △ △ --> B C E {\displaystyle \triangle BCE} und △ △ --> A C D {\displaystyle \triangle ACD} angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck △ △ --> D E F {\displaystyle \triangle DEF} , das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck △ △ --> D E F {\displaystyle \triangle DEF} und das Ausgangsdreieck △ △ --> A B C {\displaystyle \triangle ABC} sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden F C {\displaystyle FC} , A E {\displaystyle AE} und B D {\displaystyle BD} schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt P {\displaystyle P} , dem Perspektivitätszentrum.
Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks △ △ --> A B C {\displaystyle \triangle ABC} ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen − − --> 90 ∘ ∘ --> {\displaystyle -90^{\circ }} und 90 ∘ ∘ --> {\displaystyle 90^{\circ }} durchlaufen lässt.
Der Basiswinkel ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit K ϕ ϕ --> {\displaystyle {\mathcal {K}}_{\phi }} bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit K ϕ ϕ --> {\displaystyle K_{\phi }} .
Baryzentrische Koordinaten von K ϕ ϕ --> {\displaystyle K_{\phi }} (unter Verwendung der Conway-Dreiecksnotation):
Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist
Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten
die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).
Bei der Kiepert-Hyperbel handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:
Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.
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