Evernden studierte an der University of Arkansas und wurde 1984 in die Bestenauswahl All-American gewählt. Im Jahr darauf wurde er Tennisprofi und stand im Finale der ATP-Turniere von Brisbane, wo er Paul Annacone unterlag, sowie von Sydney, wo er an Henri Leconte scheiterte. 1986 gewann er in Köln an der Seite von Chip Hooper seinen ersten Doppeltitel. Das folgende Jahr war das erfolgreichste seiner Karriere. Er konnte zwei Einzeltitel sowie einen Doppeltitel erringen. Insgesamt gewann er im Laufe seiner Karriere drei Einzel- sowie fünf Doppeltitel. Seine höchste Notierung in der Tennis-Weltrangliste erreichte er 1989 mit Position 31 im Einzel sowie 1988 mit Position 19 im Doppel.
Sein bestes Resultat bei einem Grand-Slam-Turnier erreichte er 1987 mit dem Viertelfinale der Australian Open. In der Doppelkonkurrenz stand er im Viertelfinale der Australian Open, von Wimbledon und der US Open.
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