Karl Drexel wurde am 21. Juli 1872 in Dornbirn als Sohn von Franz Josef Drexel und Maria Katharina Ulmer geboren und wuchs dort auch auf. In Dornbirn besuchte er die Volksschule, ehe er an das Gymnasium Cassianeum in Brixen ging, wo Drexel im Jahr 1891 maturierte. Am 29. Juni 1895 empfing Karl Drexel die Priesterweihe und war daraufhin bis 1897 als Hilfspriester in Hohenems tätig.
Anschließend daran begann er die Studien der Theologie und der Philosophie in Rom, welche er im Jahr 1899 mit der Promotion zum Doktor der Theologie und zum Doktor der Philosophie (DDr. theol. et. phil.) abschloss. Von 1898 bis 1899 war er Kaplan am PriesterkollegSanta Maria dell’ Anima in Rom. In den Jahren 1899 bis 1907 arbeitete Drexel in der Folge in seiner Heimatstadt Dornbirn als Pfarrprovisor und Realschulprofessor am Gymnasium Dornbirn.
Karl Drexel wurde erstmals im Jahr 1902 für die Christlichsoziale Partei politisch tätig, als er für diese erstmals in den Vorarlberger Landtag gewählt wurde. Drexel war im Landtag der 9. Gesetzgebungsperiode Abgeordneter der allgemeinen Wählerklasse für die Gemeinden zwischen Feldkirch und Dornbirn. Auch im Landtag der 10. Gesetzgebungsperiode war Drexel bis zum Ausbruch des Ersten Weltkriegs 1914 als Abgeordneter tätig. Ab 1904 war er zudem Mitglied der Dornbirner Stadtvertretung. Mitglied der Dornbirner Stadtvertretung blieb Drexel bis einschließlich 1913.
Nach der Rückkehr aus der russischen Kriegsgefangenschaft im Jahr 1920 wurde Karl Drexel aufgrund einer Sonderbestimmung in den Vorarlberger Landtag gewählt. Der Landtag hatte nämlich beschlossen, dass „jene Wähler, die durch Gefangenschaft oder Internierung im Feindeslande an der Ausübung ihres Wahlrechtes behindert waren, (...) nach ihrer Rückkehr einen eigenen Abgeordneten“ in den Landtag entsenden konnten. Dieser Abgeordnete war ab dem 27. Jänner 1921 erneut Karl Drexel, der bis zum Ende der 11. Gesetzgebungsperiode 1923 im Landtag tätig war.
In der Zwischenkriegszeit wurde Karl Drexel am 1. Dezember 1920 zudem vom Vorarlberger Landtag als Vertreter Vorarlbergs in den neu gegründeten österreichischen Bundesrat entsandt. Er verblieb im Bundesrat bis zum 6. November 1923 und war während seiner Mitgliedschaft auch stellvertretender Vorsitzender des Bundesrats. Anschließend rückte Karl Drexel in den österreichischen Nationalrat nach, da er bei der Nationalratswahl in Österreich 1923 ein Mandat für die Christlichsoziale Partei erreichen konnte. Er war in der Folge bis zum 16. Oktober 1931 Abgeordneter zum Nationalrat. Im Jahr 1935 wurde ihm von seiner Heimatstadt Dornbirn die Ehrenbürgerschaft verliehen.
Schriften
Soziale Politik, Gsur, Wien 1933
Oesterreichische Religionsstatistik, in: Der katholische Almanach. Jg. 2. 1934
Feldkurat in Sibirien: 1914–1920, Rauch, Innsbruck 1949 (3. Auflage)