Rodríguez begann seine musikalische Laufbahn als Sänger der Gruppe Los Zeppys, mit der er Musik im Stil der The Platters machte. 1962 wurde er Nachfolger von Felipe Pirela als Sänger in Billo FrómetasBillo’s Caracas Boys. Er arbeitete vier Jahre mit dem Orchester und debütierte dann als Schauspieler in der Fernsehserie El Roble. Es folgten weitere wie Carolina, Sangre azul und Una muchacha llamada Milagros; sein Rollenname in letzterer war El Puma und wurde sein Künstlername.
Sein erster internationaler Plattenerfolg war 1977 das Lied Voy a perder la cabeza por tu amor von Manuel Alejandro, das später als Titelmelodie der Fernsehserie Cristina Bazán diente. 1978 ging er nach Miami, und im Folgejahr unternahm er eine Konzertreise durch die USA. Bei RCA erschien sein Album Voy a perder la cabeza por tu amor, weitere folgten beim Label CBS.
Mehrere Versuche, eine politische Laufbahn zu starten – u. a. kündigte er an, für die venezolanische Präsidentschaft zu kandidieren – schlugen fehl, jedoch war Rodríguez weiter erfolgreich als Musiker, u. a. mit dem Album Piel de hombre (1992), auf dem er ein Duett mit Julio Iglesias sang.
Seit 2004 hat Rodríguez neben der venezolanischen auch die amerikanische Staatsbürgerschaft. In erster Ehe war er mit der Sängerin Lila Morillo verheiratet. Seine Töchter Génesis Rodríguez, Lilibeth Morillo und Liliana Morillo wurden ebenfalls als Sängerinnen und Schauspielerinnen bekannt.
