Das Jordan-Maß, auch Jordan-Inhalt genannt,^[1][2] ist ein mathematischer Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man gewissen beschränkten Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ einen Inhalt zuordnen, der für die Dimension ${\displaystyle n=1,2}$ bzw. ${\displaystyle 3}$ auch als Länge, Flächeninhalt bzw. Volumen aufgefasst werden kann. Das Jordan-Maß hängt eng mit dem riemannschen Integralbegriff im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zusammen.

Es bezeichne für ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n}),b=(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle [a,b[\;:=\prod _{i=1}^{n}\;[a_{i},b_{i}[}$

das halboffene ${\displaystyle n}$-dimensionale Hyperrechteck und

${\displaystyle J^{n}:=\{[a,b[:a,b\in \mathbb {R} ^{n}\}}$

die Menge aller solcher Hyperrechtecke. Zur Definition können alternativ auch halboffene Intervalle der Form ${\displaystyle ]a,b]}$ verwendet werden. Weiter sei

${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}:=\left\{\bigcup _{k=1}^{m}I_{k}:I_{1},\ldots ,I_{m}\in J^{n},\ {\text{paarweise disjunkt}}\right\}}$

die Menge aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Hyperrechtecken.

Es bezeichne weiter ${\displaystyle \mu ^{n}}$ den Inhalt, der für alle ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$ für alle ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ durch

${\displaystyle \mu ^{n}\left([a,b[\right)=\prod _{j=1}^{n}(b_{j}-a_{j})}$

und ${\displaystyle \mu ^{n}(\emptyset ):=0}$ definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei

${\displaystyle {\underline {i^{n}}}(A):=\sup\{\mu ^{n}(M):M\in {\mathcal {J}}^{n},M\subset A\},}$

ihr äußerer Inhalt sei

${\displaystyle {\overline {i^{n}}}(A):=\inf\{\mu ^{n}(N):N\in {\mathcal {J}}^{n},N\supset A\}.}$

Eine Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ heißt Jordan-messbar oder quadrierbar, wenn ${\displaystyle A}$ beschränkt ist und ${\displaystyle {\overline {i^{n}}}(A)={\underline {i^{n}}}(A)}$.

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge ${\displaystyle A}$ ist durch ${\displaystyle i^{n}(A):={\overline {i^{n}}}(A)={\underline {i^{n}}}(A)}$ gegeben.

Gilt ${\displaystyle {\overline {i^{n}}}(A)=0}$ für ein beschränktes ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$, so ist ${\displaystyle A}$ Jordan-messbar und wird Jordan-Nullmenge genannt.

1. Das Jordan-Maß ist ein Inhalt und auch ${\displaystyle \sigma }$-additiv (da das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge gleich seinem Lebesgue-Maß ist und letzteres ${\displaystyle \sigma }$-additiv ist). Aber abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendigerweise Jordan-messbar sein (siehe auch Beispiel 2). Daher ist die Menge der Jordan-messbaren Mengen keine σ-Algebra und das Jordan-Maß im Sinne der Maßtheorie nur ein Prämaß (kein Maß).
2. Ist ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ Jordan-messbar, so ist ${\displaystyle A}$ auch Lebesgue-messbar, und es gilt ${\displaystyle \lambda ^{n}(A)=i^{n}(A)}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \lambda ^{n}(A)}$ das Lebesgue-Maß von ${\displaystyle A}$.
3. Eine Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn ${\displaystyle A}$ beschränkt ist und der Rand von ${\displaystyle A}$ eine Jordan-Nullmenge ist.
4. Eine beschränkte Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn ${\displaystyle \lambda ^{n}(A^{\circ })=\lambda ^{n}({\overline {A}})}$ ist. Dann gilt auch ${\displaystyle i^{n}(A)=\lambda ^{n}(A^{\circ })=\lambda ^{n}({\overline {A}})}$.
5. Eine kompakte Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn ${\displaystyle A}$ eine Jordan-Nullmenge ist.

1. Der Einheitskreis im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
2. Die Menge ${\displaystyle A=[0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge ${\displaystyle A\supset M\in {\mathcal {J}}^{1}}$ gilt ${\displaystyle M=\emptyset }$ und für jede Menge ${\displaystyle A\subset N\in {\mathcal {J}}^{1}}$ gilt ${\displaystyle [0,1]\subset N,}$ woraus ${\displaystyle 0={\underline {i^{1}}}(A)<{\overline {i^{1}}}(A)=1}$ folgt. Für jedes ${\displaystyle q\in A}$ gilt ${\displaystyle \lambda ^{1}(\{q\})=i^{1}(\{q\})=0}$. Aufgrund der ${\displaystyle \sigma }$-Additivität des Lebesgue-Maßes gilt ${\displaystyle \textstyle \lambda ^{1}(A)=\sum _{q\in A}\lambda ^{1}(\{q\})=\sum _{q\in A}0=0}$. ${\displaystyle A}$ ist also Lebesgue-Nullmenge. ${\displaystyle A}$ lässt sich als abzählbare Vereinigung der rationalen Zahlen ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle [0,1]}$ darstellen, wobei jede der Mengen ${\displaystyle \{q\}}$ Jordan-messbar ist. Da ${\displaystyle A}$ nicht Jordan-messbar ist, folgt, dass die Jordan-messbaren Mengen keine σ-Algebra bilden. Damit zeigt das Beispiel, dass das Jordan-Maß (auf den Jordan-messbaren-Mengen) kein Maß ist.

• Wolfgang Walter: Analysis (= Grundwissen Mathematik 4). 2. Band. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-54566-2, S. 224–226.

• Jordaninhalt und quadrierbare Mengen
• Quadrierbare Mengen im MitschriebWiki (PDF; 389 kB)

1. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Band 2. 14. Auflage. Vieweg Teubner, 2008, ISBN 978-3-8351-0208-8.  Kapitel XXIII.
2. ↑ Wolfgang Walter: Analysis 2. 5. Auflage. Springer Nature, 2002, doi:10.1007/978-3-642-55922-8.  § 7.