Puente begann ein Medizinstudium, das er aber bald zugunsten seiner schauspielerischen Ambitionen aufgab. Anfangs spielte er in verschiedenen Theatergruppen und für das Nationalradio Spaniens; schnell wurde er auch Synchronsprecher für vor allem amerikanische Filme; so war er z. B. die spanische Stimme James Stewarts.[1]
1957 war sein Debütjahr sowohl auf der Leinwand – Pedro LazagasMuchachas de azul – wie auch auf dem Bildschirm; bald war er häufiger Darsteller in Charakterrollen für über 120 Produktionen; meist spielte er in kommerziell ausgerichteten Produktionen wie Italowestern und Kriminalfilmen. 1989 führte er erstmals und einmalig Regie: Für das Fernsehen drehte er Los ochentas son nuestros.
Puente wurde zweimal mit dem Fernsehpreis Premio Ondas ausgezeichnet (1962 und 1990); 1981 gewann er den TP de Oro, der ihm erneut 1996 – für sein Lebenswerk – verliehen wurde.
Er war mit der Schauspielerin María Luisa Rubio und später mit seiner Kollegin Licia Calderón verheiratet. Sein manchmal verwendetes Pseudonym war Joe Punter.
