Jens Albinus wuchs in einem evangelischen Pfarrhaus auf. Seine Eltern waren der Pfarrer Erling und die Lehrerin Inger Albinus. Er besuchte 1985 bis 1989 die Schauspielschule am Aarhus Teater und arbeitete danach bis 1994 am Aarhus Teater selbst. Darauf folgten Engagements an verschiedenen Kopenhagener Theatern, darunter dem dänischen Staatstheater (bis 2002), und einige Engagements im Ausland (an der Berliner Volksbühne und am Basler Nationaltheater). Seit 1999 inszeniert Albinus selbst Theaterstücke, seit 1996 spielt er in Kino- und Fernsehfilmen, darunter Idioten des dänischen Filmregisseurs Lars von Trier. Von 2003 bis 2006 spielte Albinus die Hauptrolle in der Kriminalfilm-Reihe Der Adler, einer Koproduktion des dänischen Senders Danmarks Radio (DR) und des Zweiten Deutschen Fernsehens (ZDF), durch die er auch dem deutschen Publikum bekannt wurde.
Jens Albinus ist seit 2004 mit der Schauspielerin Marina Bouras verheiratet, mit der er einen Sohn (* 2007) und eine Tochter (* 2010) hat. Die Familie lebt in Frederiksberg.
