Svorada war im Straßenradsport aktiv und startete als Amateur für den Verein Dukla Brno. Er gewann 1990 die Internationale Friedensfahrt, die damals noch als Amateurrennen ausgetragen wurde. Daraufhin bekam er für die folgende Saison einen Profivertrag bei Colnago-Lampre. Seinen ersten Profisieg feierte er 1992 mit einem Etappensieg bei der Tour de Romandie. Beim Giro d’Italia 1994 war er mit drei Etappensiegen der erfolgreichste Sprinter. Wenig später gewann er das klassische Tour-de-France-Vorbereitungsrennen Midi Libre und sicherte sich später bei der Tour de France 1994 seinen ersten von insgesamt drei Etappensiegen. Im Folgejahr gewann er Etappen beim Giro d’Italia und der Tirreno–Adriatico. 1996 siegte er dann bei dem Etappenrennen Etoile de Bessèges und gewann sein erstes Eintagesrennen, den GP de Denain. Im selben Jahr wurde er zum ersten Mal tschechischer Straßenmeister, diesen Erfolg wiederholte er 1998 und 2005.
Nach insgesamt 77 errungenen Profisiegen beendete der damals 37-jährige Svorada seine Karriere mit der Teilnahme am tschechischen Eintagesrennen Prag-Karlsbad-Prag im Jahr 2006.
Svorada wurde 1995 bis 1998 und 2003 Gewinner der jährlichen Umfrage zum Král cyklistiky (Radsportkönig) des Radsportverbandes Československý svaz cyklistiky.[1]
