Ilia Wekua wurde 1907 im Dorf Schescheleti im heutigen Abchasien geboren. Er studierte ab 1925 an der Staatlichen Universität Tiflis, wo er 1930 seinen Abschluss machte. Danach ging er nach Leningrad zur Fortsetzung seines Studiums bei Alexei Krylow.
Grab im Pantheon am Mtazminda in Tiflis.
Ab 1933 war er wieder in Tiflis bei Nikolos Muschelischwili, promovierte dort 1937 zum Kandidaten und wurde nach der Habilitation (russischer Doktorgrad) 1940 Professor. Von 1936 bis 1938 war er Direktor der theoretischen Abteilung des Geophysik-Instituts des georgischen Teils der Sowjetischen Akademie der Wissenschaften. Ab 1951 war er wieder in Moskau, wo er 1951/52 Abteilungsleiter im Zentralen Aerodynamik-Institut war, 1952/53 stellvertretender Leiter des Instituts für Präzisionsmechanik und Rechenmaschinen der Akademie der Wissenschaften und 1954 bis 1959 stellvertretender Direktor des Steklow-Instituts war. Von 1959 bis 1964 amtierte er als erster Rektor der Staatlichen Universität Nowosibirsk. Danach war er wieder in Tiflis, wo er 1968 Direktor des Instituts für Angewandte Mathematik wurde, das heute nach ihm benannt ist.
Nach seinem Tode wurde er auf dem Pantheon am Berg Mtazminda in Tiflis beigesetzt.
Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung vom elliptischen Typus und Randwertaufgaben mit einer Anwendung in der Theorie der Schalen, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956
Verallgemeinerte analytische Funktionen, Akademie Verlag, Berlin 1963 (russische Ausgabe 1959, 2. Auflage 1988, englische Ausgabe Pergamon Press, Oxford 1962)
New methods for solving elliptic equations, North Holland 1967 (russische Ausgabe 1948)
Shell theory: general methods of construction, Pitman, 1985
