Gromovs Satz über Betti-Zahlen

In der Mathematik ist Gromovs Satz über Betti-Zahlen ein Lehrsatz der globalen riemannschen Geometrie von Michail Leonidowitsch Gromow.

Satz

Sei $M$ eine $n$ -dimensionale vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Schnittkrümmung. Dann gilt für die Betti-Zahlen (mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper $F$ ):

\sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq 10^{10n^{4}}

.

(Gromovs ursprüngliche Abschätzung war doppelt-exponentiell^[1], die obige Verbesserung geht auf Abresch^[2] zurück. Die vermutete optimale rechte Seite ist $2^{n}$ .)

Allgemeiner beweist Gromov, dass für eine $n$ -dimensionale geschlossene riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung $K\geq -\kappa ^{2}$ und Durchmesser $D$ die Ungleichung

\sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq C^{1+\kappa D}

für eine Konstante $C$ gilt.

Weblinks

Einzelnachweise

↑ M. Gromov, Curvature, diameter and Betti numbers, Comment. Math. Helv. 56 (1981), no. 2, 179–195. (online)
↑ U. Abresch, Lower curvature bounds, Toponogov’s theorem, and bounded topology. II. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 3, 475–502.