Georges Garmou studierte ab 1934 am Priesterseminar der Chaldäer in Bagdad und ab 1939 in Rom, wo er auch am 8. Dezember 1945 die Priesterweihe empfing. Er absolvierte ein Promotionsstudium an der Päpstlichen Universität Urbaniana. 1949 wurde er Rektor des Priesterseminars der Chaldäer. 1964 wurde er Pfarrer der Gemeinde Mother of God Parish in Southfield, Michigan.