Francis Edmund Hugh Elliot war der Sohn von Henry George Elliot, einem jüngeren Sohn des 2. Earl of Minto. Er absolvierte das Balliol College an der Oxford University mit einem Master of Arts. 1904 wurde er als Knight Commander des Order of St. Michael and St. George (KCMG) geadelt. 1905 wurde er zum Knight Grand Cross des Royal Victorian Order (GCVO) und 1917 zum Knight Grand Cross des Order of St. Michael and St. George (GCMG) erhoben. Er heiratete 1881 Henrietta Augusta Mary Ford († 1938).