Barkóczy war das dritte Kind von Ferenc Barkóczy († 1711) und Júlia Zichy de Zich et Vásonykeö († 1746). Er wurde am 14. April 1733 zum Priester geweiht. Am 2. Januar 1741 wurde er von Papst Benedikt XIV. zum Titularbischof von Tanagra ernannt. Am 10. Mai 1745 zum Erzbischof von Eger und am 13. Juni 1761 zum Erzbischof von Gran ernannt.