Nach dem frühen Tod der Eltern hielt er sich zunächst bei einer älteren Schwester in Madrid auf und erhielt hier erste musikalische Unterweisungen. In den folgenden Jahren lebte er abwechselnd in Madrid und Mailand, wo er am dortigen Konservatorium bei Nicola Vaccai Komposition studierte. Er wandte sich zunächst der Opernkomposition zu, womit er sowohl in Spanien als auch in Italien einige Erfolge erzielen konnte. Im Jahre 1852 erlebte er in Madrid den außerordentlichen Erfolg der „großen“ ZarzuelaJugar con fuego des Komponisten Francisco Asenjo Barbieri und fasste den Entschluss, sich ebenfalls dieser Gattung zuzuwenden. Seine Karriere nahm nun einen sehr erfolgreichen Verlauf. Er wurde zunächst als Lehrer für Komposition an das Madrider Konservatorium berufen und übernahm im Jahre 1868 auch dessen Leitung. Die Liste der Schüler seiner Kompositionsklassen enthält viele bekannte Namen.
Arrieta war ein äußerst produktiver Komponist; insbesondere nachdem er sich der Zarzuela zugewandt hatte, schuf er jedes Jahr mehrere dieser Werke, von denen einige auch nach seinem Ableben noch zum festen Repertoire spanischer Bühnen gehören. Daneben – und neben den Opern aus seiner frühen Schaffenszeit – haben andere Kompositionen nur den Charakter von Gelegenheitswerken. Bei all dem ist deutlich der Einfluss seiner italienischen Ausbildung zu hören, wenngleich er auch Elemente der spanischen Volksmusik in seinen Bühnenwerken verarbeitete.
