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Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {P(x)}}\right)\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle R}$ eine rationale Funktion in zwei Variablen und ${\displaystyle P(x)}$ ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist.^[1] Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen. Ist dies doch möglich, spricht man von einem pseudoelliptischen Integral.^[2] „Echte“ elliptische Integrale lassen sich durch Umformungen auf die folgenden drei Grundtypen zurückführen, die man als elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art (oder Gattung) bezeichnet.^[3]

I. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$

II. Art: ${\displaystyle \int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}$

III. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1-nx^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}}$

Der Parameter ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle 0<k<1}$ ist der elliptische Modul. Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ statt ${\displaystyle k}$ verwendet und der Definitionsbereich auf ${\displaystyle m<0}$ erweitert.

Die elliptischen Integrale stehen in engem Zusammenhang mit den elliptischen Funktionen. Vereinfacht ausgedrückt, ist die Umkehrfunktion eines elliptischen Integrals erster Art eine elliptische Funktion.^[4]

Die oben angegebene Darstellung der elliptischen Integrale nennt man die Jacobi-Form. Durch die Substitution ${\displaystyle t=\sin \vartheta }$ lässt sie sich in die Legendre-Grundform überführen. Bei allen drei Grundtypen unterscheidet man vollständige und unvollständige Integrale. Vollständige elliptische Integrale sind bestimmte Integrale mit der unteren Integrationsgrenze 0 und der oberen Integrationsgrenze 1 (Jacobi-Form) bzw. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ (Legendre-Grundform). Unvollständige elliptische Integrale haben ebenfalls die untere Integrationsgrenze 0, aber eine variable obere Integrationsgrenze, z. B. ${\displaystyle x}$ im Falle der Jacobi-Form bzw. ${\displaystyle \varphi }$ im Falle der Legendre-Grundform. Sie werden weiter unten behandelt. Vollständige elliptische Integrale lassen sich als Spezialfälle der unvollständigen elliptischen Integrale auffassen.

Für das vollständige elliptische Integral I. Art ist die Bezeichnung ${\displaystyle K(k)}$ üblich, für das vollständige Integral II. Art ${\displaystyle E(k)}$ und für das vollständige Integral III. Art ${\displaystyle \Pi (n,k)}$. Für die entsprechenden unvollständigen elliptischen Integrale I. bis III. Art sind ${\displaystyle F(x,k)}$ oder ${\displaystyle F(\varphi ,k)}$, ${\displaystyle E(x,k)}$ oder ${\displaystyle E(\varphi ,k)}$ und ${\displaystyle \Pi (n,x,k)}$ oder ${\displaystyle \Pi (n,\varphi ,k)}$ die Standardbezeichnungen – je nachdem, ob die Jacobi-Form oder die Legendre-Grundform gemeint ist.

Manche Autoren ersetzen den Parameter ${\displaystyle k}$ durch den Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$. Im Rest dieses Artikels wird meistens die Konvention mit dem Parameter ${\displaystyle k}$ verwendet.

Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$, das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell’schen hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle F_{1}(a;b_{1},b_{2};c;x,y).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&:=F({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\E(k)&:=E({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\\Pi (n,k)&:=\Pi ({\tfrac {\pi }{2}},n,k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot F_{1}({\tfrac {1}{2}};1,{\tfrac {1}{2}};1;n,k^{2})\end{aligned}}}$

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit dem Parameter ${\displaystyle k}$ dargestellt. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parameter ${\displaystyle k}$

I. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle K(k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle K(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$
II. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle E(k):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$
II. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle E(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta }$
III. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}}$

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale ${\displaystyle K'}$ und ${\displaystyle E'}$ sind mit der komplementären Variable ${\displaystyle k'}$ folgendermaßen definiert:

${\displaystyle {\begin{aligned}k'&:={\sqrt {1-k^{2}}}\\K'(k)&:=K(k')\\E'(k)&:=E(k')\end{aligned}}}$

Damit lässt sich das elliptische Nomen (auch Jacobische Entwicklungsgröße) definieren, das in der Theorie der elliptischen Integrale eine wichtige Rolle spielt.

${\displaystyle q(k)=\exp \left[-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}\right]=\exp \left[-\pi \,{\frac {K'(k)}{K(k)}}\right]}$

Mithilfe des elliptischen Nomens lässt sich ein Zusammenhang mit den Jacobischen Thetafunktionen (genauer: Theta-Nullwerten) formulieren:^[5][6]

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\vartheta _{3}^{2}(0,q(k))}$

Die MacLaurin-Reihen von ${\displaystyle K(k)}$ und ${\displaystyle E(k)}$ sind gegeben durch:^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {1}{2}}\pi \left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}k^{6}+\ldots \right]\\E(k)&={\tfrac {1}{2}}\pi \left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {k^{6}}{5}}-\ldots \right]\end{aligned}}}$

Gleichwertige Schreibweisen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}\right]={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}\right]^{2}k^{2n}\right\}\\E(k)&={\frac {\pi }{2}}\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,k^{2n}\right]={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}\right\}\end{aligned}}}$

Das hier verwendete Kürzel CBC steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient. Es bezeichnet den mittleren Binomialkoeffizienten und ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}$.

Der Konvergenzradius der beiden Reihen ist jeweils 1.

Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument ${\displaystyle k}$ abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Denn die Potenzreihen für die Funktionen ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle E}$ konvergieren mit der Konvergenzgeschwindigkeit der Maclaurinschen Reihen für die Funktionen Arkussinus und Areatangens hyperbolicus und können mit Hilfe ihrer genannten Integraldarstellungen hergeleitet werden. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument ${\displaystyle k}$ in einem bezüglich der Genauigkeit geeigneten Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von ${\displaystyle k_{n}}$ und ${\displaystyle k_{n}'={\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}$ bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art

	Vollständiges elliptisches Integral I. Art	Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert	${\displaystyle k_{0}:=k}$	${\displaystyle k_{0}:=k}$
Rekursionsgleichung	${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$	${\displaystyle k_{n+1}={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}}$
Produktformeln	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{n})}$	${\displaystyle K'(k_{0})={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}})}$

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt ${\displaystyle a}$ den arithmetischen Mittelwert, ${\displaystyle b}$ den geometrischen Mittelwert und ${\displaystyle c}$ eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte ${\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}$ sind wie angegeben durch das Argument ${\displaystyle k}$ definiert. Zu beachten ist, dass für ${\displaystyle k=1}$ das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann ${\displaystyle E(1)}$ nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu ${\displaystyle E(1)=1}$ bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention ${\displaystyle E(m),\;K(m)}$ lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution ${\displaystyle m=k^{2}}$. In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision (${\displaystyle \approx 16}$ dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von ${\displaystyle n=4}$ Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei ${\displaystyle n>4}$ sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
${\displaystyle a_{0}:=1}$	${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}}\equiv {\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}}$
${\displaystyle b_{0}:={\sqrt {1-k^{2}}}}$	${\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$	${\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right)\cdot K(k)}$
${\displaystyle c_{0}:=k}$	${\displaystyle c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle \Pi (n,k)={\frac {1}{2}}\cdot \left(2+{\frac {n}{1-n}}\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\right)\cdot K(k)}$
${\displaystyle p_{0}:={\sqrt {1-n}}}$	${\displaystyle p_{n+1}={\frac {p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}{2p_{n}}}}$
${\displaystyle Q_{0}:=1}$	${\displaystyle Q_{n+1}={\frac {Q_{n}}{2}}\cdot {\frac {p_{n}^{2}-a_{n}b_{n}}{p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}}}$

Durch Substitution gemäß ${\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {a_{2n}}}\;,\;\beta _{n}={\sqrt {b_{2n}}}}$ findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
${\displaystyle \alpha _{0}:=1}$	${\displaystyle \alpha _{n+1}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}^{2}}}}$
${\displaystyle \beta _{0}:=\left(1-k^{2}\right)^{1/4}}$	${\displaystyle \beta _{n+1}=\left({\frac {\alpha _{n}^{3}\beta _{n}+\beta _{n}^{3}\alpha _{n}}{2}}\right)^{1/4}}$	${\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}\left(\alpha _{n}^{4}-\left({\frac {\alpha _{n}^{2}+\beta _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}\right)\right)\cdot K(k)}$

Als singuläre elliptische Integralwerte bezeichnet man diejenigen Werte des vollständigen elliptischen Integrals erster Art, deren Modul ein singulärer Modul ist. Dieser ist dadurch charakterisiert, dass

${\displaystyle {\frac {K(k')}{K(k)}}={\sqrt {n}},\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

wobei ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ den komplementären Modul bezeichnet. Für zahlreiche singuläre Werte lassen sich geschlossene Darstellungen durch Werte der Gammafunktion beziehungsweise der Eulerschen Betafunktion angeben.^[8][9]

Zu den bekanntesten singulären Werten gehören^[10]

${\displaystyle \lambda ^{*}(1)={\frac {1}{\sqrt {2}}},\qquad K\!\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {\Gamma ({\frac {1}{4}})^{2}}{4{\sqrt {\pi }}}},}$

sowie

${\displaystyle \lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1,\qquad K({\sqrt {2}}-1)={\frac {\Gamma ({\frac {1}{8}})\Gamma ({\frac {3}{8}})}{2^{13/4}{\sqrt {\pi }}}},}$

und

${\displaystyle \lambda ^{*}(3)=\sin {\frac {\pi }{12}},\qquad K\!\left(\sin {\frac {\pi }{12}}\right)={\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})^{3}}{2^{7/3}3^{1/4}\pi }}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ die Elliptische Lambda-Stern-Funktion.

Singuläre elliptische Integralwerte spielen insbesondere bei Theta-Funktionen und Ramanujans Reihenentwicklungen für ${\displaystyle \pi }$ eine wichtige Rolle.

Spezielle Funktionswerte:^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}F({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nK(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\E({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nE(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\\Pi \left(m,{\frac {n\pi }{2}},m\right)&\equiv {\frac {nE(m)}{m-1}}\;,&n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (0,m)&\equiv K(m)\\\Pi (n,0)&\equiv {\frac {\pi /2}{\sqrt {1-n}}}\\\Pi (m,m)&\equiv {\frac {E(m)}{1-m}}\\\Pi (k,k)&\equiv {\frac {\pi }{4(1-k)}}+{\tfrac {1}{2}}K(k)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Pi (0,0)={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}\Pi (0,k)=\infty }$

Die Transformationen des elliptischen Moduls^[12] erfolgen nach den nun folgenden Mustern:

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\;K\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E(m)&\equiv {\sqrt {1-m}}\;E\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n,m)&\equiv {\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}},{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}}$

Bezüglich des standardisierten Legendreschen Moduls beziehungsweise bezüglich der numerischen Exzentrizität ist die soeben gezeigte Transformation imaginär beschaffen. Wenn diese Modultransformation auf sich selbst angewandt wird beziehungsweise zweimal hintereinander durchgeführt wird, dann entsteht wieder der anfängliche Modul. Somit hat diese Modultransformation einen reflexiven Charakter.

Die absteigende Landensche Transformation ordnet einem gegebenen Modul ${\displaystyle k}$ die Zahl ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {1-k'}{1+k'}}={\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}}$ zu. Es gilt ${\displaystyle k_{1}<k}$. Zwischen den vollständigen elliptischen Integralen mit den Modulen ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle k_{1}}$ besteht folgender Zusammenhang:^[13]

${\displaystyle K(k)=(1+k_{1})\,K(k_{1})}$

${\displaystyle E(k)=(1+k')\,E(k_{1})-k'\,K(k)}$

Des Weiteren gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {1}{1+k}}\,K(k_{2})&K'(k)&={\frac {2}{1+k}}\,K'(k_{2})\\K(k)&={\frac {2}{1+k'}}\,K(k_{1})&K'(k)&={\frac {1}{1+k'}}\,K'(k_{1})\\E(k)&={\frac {1+k}{2}}\,E(k_{2})+{\frac {k'^{2}}{2}}\,K(k)&E'(k)&=(1+k)\,E'(k_{2})-k\,K'(k)\\E(k)&=(1+k')\,E(k_{1})-k'\,K(k)&E'(k)&={\frac {1+k'}{2}}\,E'(k_{1})+{\frac {k^{2}}{2}}\,K'(k)\end{aligned}}}$

mit ${\displaystyle k_{2}={\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}>k}$ (aufsteigende Landensche Transformation).

Aus diesen Gleichungen folgt

${\displaystyle {\frac {K'(k_{1})}{K(k_{1})}}=2{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$.

Das für die Berechnung des Nomens wichtige Verhältnis ${\displaystyle {\tfrac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K\left(k\right)}}}$ verdoppelt sich also beim Übergang vom Modul ${\displaystyle k}$ zum Modul ${\displaystyle k_{1}}$.^[14]

Für das Nomen ${\displaystyle q}$ selbst ergibt sich:

${\displaystyle q(k_{1})=q(k)^{2}}$

Die folgenden drei Beispiele sollen die Landen-Transformation erläutern:

Landensche Modultransformationen

k	k1	Zusammenhang zwischen K(k) und K(k1)	Periodenverhältnis	Nomenfunktion
${\displaystyle k={\tfrac {3}{5}}}$	${\displaystyle k_{1}={\tfrac {1}{9}}}$	${\displaystyle K({\tfrac {3}{5}})=K'({\tfrac {4}{5}})=\left(1+{\tfrac {1}{9}}\right)K({\tfrac {1}{9}})}$	${\displaystyle 2\cdot {\frac {K({\tfrac {4}{5}})}{K({\tfrac {3}{5}})}}={\frac {K({\tfrac {4}{9}}{\sqrt {5}})}{K({\tfrac {1}{9}})}}}$	${\displaystyle q({\tfrac {3}{5}})^{2}=q({\tfrac {1}{9}})}$
${\displaystyle k={\tfrac {8}{17}}}$	${\displaystyle k_{1}={\tfrac {1}{16}}}$	${\displaystyle K({\tfrac {8}{17}})=K'({\tfrac {15}{17}})=\left(1+{\tfrac {1}{16}}\right)K({\tfrac {1}{16}})}$	${\displaystyle 2\cdot {\frac {K({\tfrac {15}{17}})}{K({\tfrac {8}{17}})}}={\frac {K({\tfrac {1}{16}}{\sqrt {255}})}{K({\tfrac {1}{16}})}}}$	${\displaystyle q({\tfrac {8}{17}})^{2}=q({\tfrac {1}{16}})}$
${\displaystyle k={\tfrac {5}{13}}}$	${\displaystyle k_{1}={\tfrac {1}{25}}}$	${\displaystyle K({\tfrac {5}{13}})=K'({\tfrac {12}{13}})=\left(1+{\tfrac {1}{25}}\right)K({\tfrac {1}{25}})}$	${\displaystyle 2\cdot {\frac {K({\tfrac {12}{13}})}{K({\tfrac {5}{13}})}}={\frac {K({\tfrac {4}{25}}{\sqrt {39}})}{K({\tfrac {1}{25}})}}}$	${\displaystyle q({\tfrac {5}{13}})^{2}=q({\tfrac {1}{25}})}$

Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art werden so abgeleitet:^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\text{d}}K(k)}{{\text{d}}k}}={\frac {E(k)-(1-k^{2})\cdot K(k)}{k\cdot (1-k^{2})}}&&{\frac {{\text{d}}K(m)}{{\text{d}}m}}={\frac {E(m)-(1-m)\cdot K(m)}{2m\cdot (1-m)}}\\&{\frac {{\text{d}}E(k)}{{\text{d}}k}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}&&{\frac {{\text{d}}E(m)}{{\text{d}}m}}={\frac {E(m)-K(m)}{2m}}\\&{\frac {{\text{d}}\Pi (n,m)}{{\text{d}}n}}={\frac {1}{2(m-n)(n-1)}}\left(E(m)+{\frac {m-n}{n}}K(m)+{\frac {n^{2}-m}{n}}\Pi (n,m)\right)&&{\frac {{\text{d}}\Pi (n,m)}{{\text{d}}m}}={\frac {1}{2(n-m)}}\left({\frac {E(m)}{m-1}}+\Pi (n,m)\right)\end{aligned}}}$

Stammfunktionen für das vollständige elliptische Integral erster, zweiter und dritter Art nach ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int K(m)\,\mathrm {d} m&=2(m-1)K(m)+2E(m)\\\int E(m)\,\mathrm {d} m&={\tfrac {2}{3}}(m-1)K(m)+{\tfrac {2}{3}}(m+1)E(m)\\\int \Pi (n,m)\,\mathrm {d} m&=-2K(m)+2E(m)+2(m-n)\Pi (n,m)\end{aligned}}}$

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt. Die Umkehrfunktionen von den unvollständigen elliptischen Integralen erster Art in Legendre-Form sind die Jacobischen Amplitudenfunktionen Sinus Amplitudinis (sn), Cosinus Amplitudinis (cn) und Delta Amplitudinis (dn).

Wenn man von diesen drei Funktionen die Kehrwertfunktionen mit Kürzeln ausdrücken möchte, dann müssen von den soeben gezeigten Funktionskürzeln die beiden Buchstaben jeweils ausgetauscht werden. Wenn eine der drei gezeigten Funktionen als Dividendfunktion durch eine andere von diesen drei Funktionen als Divisorfunktion geteilt wird, dann trägt das zweibuchstabige Kürzel der jeweiligen neuen Funktion an erster Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Dividendfunktion und an zweiter Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Divisorfunktion. Beispielsweise hat der Quotient des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Ampitudinis das Kürzel cd. Denn die Dividendfunktion ist der Cosinus Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel dieser Funktion ist das c. Und die Divisorfunktion ist das Delta Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel jener Funktion ist das d.

Die Jacobischen Amplitudenfunktionen haben genauso wie die trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen Additionstheoreme mit algebraischer Struktur, welche aus den Theoremen der unvollständigen elliptischen Integrale erster Art hervorgehen. Deswegen zählen die sn-Werte, cn-Werte und dn-Werte von den Produkten aus einer rationalen Zahl und dem elliptischen K-Integral des betroffenen Moduls komplett immer zu den algebraischen Zahlen.

Bei den Umkehrfunktionen der unvollständigen elliptischen Integrale zweiter Art ist das jedoch nicht der Fall. Diese inversen elliptischen Integrale zweiter Art haben keine Additionstheoreme mit algebraischer Struktur. Diese Funktionen ordnen die Bogenmaße beziehungsweise Kurvenlängen der Ellipsen den jeweiligen Höhen und Breiten der betroffenen Kurvenpunkte zu.

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution ${\displaystyle t=\sin \vartheta }$ in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale

	Konvention mit Parameter ${\displaystyle k}$
I. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle F_{J}(x;k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle F(\varphi ;k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$
II. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle E_{J}(x;k):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$
II. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle E(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta }$
III. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle \Pi _{J}(n,x;k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle \Pi (n,\varphi ;k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}}$

Die symmetrischen Carlson-Formen sind eine alternative Menge an Funktionen, durch die die klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden erst in den 1960er Jahren erfunden, während die Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber den klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen ${\displaystyle R_{F}}$, ${\displaystyle R_{D}}$ und ${\displaystyle R_{J}}$ ausgedrückt werden:

${\displaystyle F(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{m\sin ^{3}}\varphi \;R_{D}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)}$

${\displaystyle \Pi (n,\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1,1-{n\sin ^{2}}\varphi )}$

(für ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 2\pi }$ und ${\displaystyle 0\leq {m\sin ^{2}}\varphi \leq 1}$)

Vollständige elliptischen Integrale erhält man durch Einsetzen von φ = π/2:

${\displaystyle K(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)}$

${\displaystyle E(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)-{\tfrac {1}{3}}mR_{D}\left(0,1-m,1\right)}$

${\displaystyle \Pi (n,m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-m,1,1-n\right)}$

Eine alternative Darstellung der unvollständigen elliptischen Integrale sind die Bulirsch-Integrale.^[16][17]

Die unvollständigen Bulirsch-Integrale sind:

${\displaystyle \operatorname {el1} (x,k_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {el2} (x,k_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {el3} (x,k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$

Eine verallgemeinerte Version wurde 1994 zusammen mit einem effizienten Berechnungsalgorithmus eingeführt:^[18]

${\displaystyle \operatorname {el} (x,k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$ .

Relation zu den Legendre-Normalformen:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,m)&=\operatorname {el1} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\\\Pi (n,\varphi ,m)&=\operatorname {el3} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\end{aligned}}}$

Die Bulirsch-Integrale haben den Vorteil, dass bestimmte in der Praxis vorkommende Kombinationen der Legendre-Elliptischen-Integrale als gemeinsame Funktion dargestellt werden können, und damit numerische Instabilitäten und undefinierte Wertebereiche vermieden werden können:^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,\Pi (n,\varphi ,m)&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(\varphi ,m)-E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)F(\varphi ,m)+E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,\varphi ,m)-F(\varphi ,m)}{n}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}}$

Die vollständigen Bulirsch-Integrale sind

${\displaystyle \operatorname {cel1} (k_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cel2} (k_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cel3} (k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$

und das verallgemeinerte vollständige Bulirsch-Integral^[17]

${\displaystyle \operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$ .

Es gilt^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&=\operatorname {cel1} ({\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(m)&=\operatorname {cel2} ({\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\\\Pi (n,m)&=\operatorname {cel3} ({\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\end{aligned}}}$

Linearkombinationen vollständiger Legendre-Integrale:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,K(m)+\mu \,E(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,K(m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K(m)-E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)K(m)+E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,m)-K(m)}{n}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cel} (k_{c},1,a,b)&={\frac {a-b}{1-k_{c}^{2}}}\,E(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,k_{c}^{2}}{1-k_{c}^{2}}}\,K(1-k_{c}^{2})\\\operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)&={\frac {a-b}{1-n_{c}}}\,K(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,n_{c}}{1-n_{c}}}\,\Pi (1-n_{c},1-k_{c}^{2})\end{aligned}}}$

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden.^[20] Zur numerischen Auswertung der Carlson-Formen existieren zum AGM ähnliche Algorithmen.^[21] Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich.^[22] Zu den derzeit effizientesten Verfahren gehört die Auswertung mit Hilfe des Bulirsch-Algorithmus.^[23]

Zwischen den vollständigen elliptischen Integralen, der Gammafunktion und der Eulerschen Betafunktion besteht ein enger Zusammenhang. Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {1}{n}}\,\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{2}}\right).}$

Für einige spezielle Werte von ${\displaystyle n}$ lässt sich dieses Integral zusätzlich durch vollständige elliptische Integrale erster Art ausdrücken. Besonders bedeutsam sind dabei der lemniskatische und der äquianharmonische Fall, die in der Theorie der elliptischen Funktionen eine wichtige Rolle spielen.^{[24][25][26][27]}

Das vollständige elliptische Integral erster Art (Jacobische Viertelperiode) und das vollständige elliptische Integral zweiter Art zu einem Modul ${\displaystyle k}$ und dem komplementären Modul ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ sind durch die Legendresche Identität miteinander verbunden.^[28][29][30]

${\displaystyle K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$