Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.
Definition
Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit
heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante
existiert, so dass
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd9e9a1a61d1de11a1a65736320e9478d3c10ac)
gilt. Dabei ist
der (0,2)-Ricci-Tensor und
für jedes
Die pseudo-riemannsche Metrik
heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.
Eigenschaften
- Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen
von eigenständigem Interesse, da sie für
und
mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
- Sei
Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes
eine Konstante
(in Abhängigkeit von
) existiert, so dass
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda _{p}\,g_{p}(X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d6a53fbab1d8dff485e8e6f88e62b58375a639)
- gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier
vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
- Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante
haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante
.
![{\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)-{\frac {1}{2}}\,g_{p}(X,Y)\,s_{p}+g_{p}(X,Y)\,\Lambda =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f464385ccfe2a5c9bd028093217126178f0fdf02)
- mit der kosmologischen Konstante
und der Skalarkrümmung
ist. Durch Spurbildung in der Gleichung
erhält man
![{\displaystyle s_{p}=n\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02e6dfbd7af45c91a1f5b90bdecb75f9757aa75)
- dabei bezeichnet
die Dimension der Mannigfaltigkeit.
Literatur