David Elsner begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt in der Nachwuchsabteilung des EV Landshut, für den er von 2007 bis 2011 in der Deutschen Nachwuchsliga (DNL) aktiv war. In der Saison 2009/10 gab der Angreifer zudem sein Debüt für die Profiabteilung des Clubs, die Landshut Cannibals, in der 2. Bundesliga und erzielte in insgesamt 35 Spielen sechs Tore und gab weitere drei Vorlagen. Anschließend wurde der deutsche Junioren-Nationalspieler im NHL Entry Draft 2010 in der siebten Runde als insgesamt 194. Spieler von den Nashville Predators aus der National Hockey League (NHL) ausgewählt. Für die Saison 2010/11 erhielt Elsner eine Förderlizenz des ERC Ingolstadt aus der Deutschen Eishockey Liga (DEL). Bei seinen drei Einsätzen für Ingolstadt erzielte er ein Tor.
Im Mai 2015 gab der ERC Ingolstadt aus der DEL die Verpflichtung Elsners bekannt.[3] Des Weiteren kam er in der Saison 2015/16 im Rahmen einer Förderlizenz in acht Spielen beim ESV Kaufbeuren zum Einsatz.[4] Nach der Saison 2015/16, in der der Rechtsschütze 33 Spiele für Ingolstadt absolvierte, wurde sein Vertrag um eine weitere Saison verlängert.[5] Im Anschluss an die Saison 2016/17 wurde im März 2017 die Verlängerung des Vertrages um zwei weitere Spielzeiten bis 2019 mit klubseitiger Option bis 2020 bekanntgegeben.[6] Diese Option nutzte der Klub und gab im Januar 2019 bekannt, dass der Rechtsschütze eine weitere Saison für Ingolstadt auf dem Eis stehen würde.[7] Im Februar 2020 veröffentlichte der ERC Ingolstadt die Verlängerung des Vertrags um die Saison 2020/21.[8]
Nach sechs Spielzeiten im Trikot der Panther verließ Elsner Ingolstadt im Jahr 2021 und schloss sich zur Saison 2021/22 dem Ligakonkurrenten, den Straubing Tigers, an.[9] Zur Saison 2022/23 kehrte Elsner zu den Löwen Frankfurt zurück, die im Frühjahr 2022 in die DEL aufgestiegen waren.[10] Nach nur einer Spielzeit wurde der Vertrag des Stürmers jedoch nicht verlängert, der sich daraufhin im August 2023 dem 1. EV Weiden aus der drittklassigen Eishockey-Oberliga anschloss. Mit dem Klub gelang ihm im Frühjahr 2024 der Aufstieg in die DEL2.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)