Der 1,90 m große und 91 kg schwere Rechtshänder spielte zunächst beim jugoslawischen Verein RK Železničar Niš, mit dem er 1997 den Pokal errang und im Europapokal der Pokalsieger 1997/98 unter die letzten 16 kam. 1998 verpflichtete ihn der ungarische Klub Fotex Veszprém, mit dem er 1999 das Double gewann und in der EHF Champions League 1998/99 ins Viertelfinale vorstieß. Anschließend wechselte er zum RK Lovćen Cetinje, mit dem 2000 und 2001 die jugoslawische Meisterschaft feierte. Mit Cetinje erreichte er das Viertelfinale im EHF-Pokal 1999/2000 und in der Champions League 2000/01.
Mit der serbischen Nationalmannschaft nahm Dalibor Čutura an den Olympischen Spielen 2012 teil und belegte den 9. Rang. Bei der Europameisterschaft 2012 im eigenen Land gewann er die Silbermedaille. Bisher bestritt er 15 Länderspiele, in denen er 32 Tore erzielte. (Stand: 26. Februar 2014)
Čutura beendete 2019 seine Spielerkarriere beim HC Drogbera Sud Constanța und übernahm anschließend das Traineramt beim rumänischen Verein CSM Focșani.[3]
Privates
Dalibor Čuturas Sohn starb kurz vor den Olympischen Spielen 2012 nach einem Spielplatzunfall im Alter von 9 Jahren.[4] Sein jüngerer Bruder Davor Čutura (* 1979) ist ebenfalls Handballnationalspieler.
