Die fünf Bandmitglieder lernten sich auf der Art School kennen. Gitarrist Julian Godfrey Brookhouse, Bassist Nicholas Bernard Throp, Schlagzeuger Michael Drummond und Keyboarder Toby Anderson waren bereits in einer Band mit dem Namen „Twilight Children“ aktiv und Ben Volpeliere-Pierrot stieß als Sänger dazu. Sie fanden einen Manager, der ihnen zu einem Plattenvertrag mit Phonogram verhalf. Mit Stewart Levine produzierten sie ihr Debütalbum, das 1986 fertiggestellt wurde. Die DebütsingleMisfit wurde zunächst kein großer Erfolg und erreichte lediglich untere Ränge der UK-Charts. Trotzdem bekam die Gruppe Aufmerksamkeit, die enorm anstieg, als sich der Künstler Andy Warhol zum Fan der Band erklärte. Ihre zweite Single Down to Earth brachte danach den Durchbruch und kam auf Platz 3 in Großbritannien. Später konnte sich das Lied auch in den deutschen Charts platzieren. Die Wiederveröffentlichung von Misfit mit einem versteckten Auftritt von Andy Warhol im zugehörigen Video wurde zu einem weiteren Top-Ten-Hit. Es brachte Curiosity Killed the Cat auch die einzige Singleplatzierung in den USA. Das zugehörige Debütalbum Keep Your Distance war international erfolgreich und erreichte 1987 unter anderem Platz 1 in Großbritannien und Platz 7 in der Schweiz.
Zwei Jahre später legte Curiosity Killed the Cat das Album Getahead nach, das aber die Erwartungen enttäuschte und mit Name & No. nur noch einen kleineren Singlehit hervorbrachte. Daraufhin verlor die Formation die Unterstützung des Labels. 1992 versuchte sie ein Comeback unter dem verkürzten Bandnamen Curiosity und ohne den Keyboarder Anderson. Mit einer Coverversion des 1970er-Jahre-Hits Hang On in There, Baby von Johnny Bristol hatte sie noch einmal einen internationalen Hit, aber das Album Back to Front enttäuschte erneut und die Gruppe löste sich auf.
