Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt, nämlich auf wie viele verschiedene Arten man aus einer Menge von ${\displaystyle n}$ verschiedenen Objekten jeweils ${\displaystyle k}$ Objekte auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge). Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen in der Potenzmenge einer ${\displaystyle n}$-elementigen Grundmenge.

„49 über 6“ in Deutschland bzw. „45 über 6“ in Österreich und der Schweiz ist z. B. die Anzahl der möglichen Ziehungen beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl).

Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei nichtnegativen ganzen Zahlen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ ab. Er wird mit dem Symbol

${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$

geschrieben und als „n über k“, „k aus n“ oder „n tief k“ gesprochen. Die englische Abkürzung nCr für n choose r findet sich als Beschriftung auf Taschenrechnern.

Den Namen erhielten diese Zahlen, da sie als Koeffizienten in den Potenzen des Binoms ${\displaystyle x+y}$ auftreten; es gilt der sogenannte binomische Lehrsatz:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n}&={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+\dotsb +{\binom {n}{n-1}}xy^{n-1}+{\binom {n}{n}}y^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\end{aligned}}}$

Eine Erweiterung des aus der Kombinatorik stammenden Binomialkoeffizienten stellt der allgemeine Binomialkoeffizient dar, der in der Analysis verwendet wird.

Für ganze Zahlen ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ist der Binomialkoeffizient „n über k“ auf folgende Weise definiert:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n}{k}}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}},\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$ bezeichnet. Das leere Produkt (${\displaystyle k=0}$) ist dabei ${\displaystyle 1}$. Für ${\displaystyle k>n}$ setzt man zudem ${\displaystyle {\binom {n}{k}}:=0}$.

Unmittelbar aus der Definition ergeben sich für ${\displaystyle k\geq 1}$ die Umformungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n}{k}}&={\frac {n}{1}}\cdot {\frac {n-1}{2}}\dotsm {\frac {n-(k-1)}{k}}\\&={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{k!}}\\&=\prod _{j=1}^{k}{\frac {n+1-j}{j}}.\end{aligned}}}$

Über das Wegkürzen der Fakultäten können damit auch Binomialkoeffizienten mit großen Werten ${\displaystyle n}$ in annehmbarer Zeit berechnet werden. Es gilt weiter:

• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ist stets eine nichtnegative ganze Zahl. Ist ${\displaystyle k\leq n}$, so ist ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}\geq 1}$, anderenfalls ist ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$.
• ${\displaystyle {\binom {n}{0}}=1={\binom {n}{n}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n}{1}}=n={\binom {n}{n-1}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}\cdot {\binom {n-1}{k-1}}\Leftrightarrow k\cdot {\binom {n}{k}}=n\cdot {\binom {n-1}{k-1}}}$
• ${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}}$. Für ${\displaystyle n=k}$ ist der rechte Summand ${\displaystyle {\tbinom {n}{k+1}}=0}$.

Ganzzahlige Binomialkoeffizienten sind symmetrisch im Sinne von

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}}$

für alle nichtnegativen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$.

Beweis

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n}{n-k}}&={\frac {n!}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!}}\\&={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}\\&={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}\end{aligned}}}$

Beispiel

${\displaystyle {\binom {5}{3}}={\binom {5}{5-3}}={\binom {5}{2}}}$

${\displaystyle {\binom {5}{3}}={\frac {5!}{3!\cdot (5-3)!}}={\frac {5!}{3!\cdot 2!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2\cdot 3)\cdot (1\cdot 2)}}={\frac {4\cdot 5}{1\cdot 2}}=10}$

${\displaystyle {\binom {5}{2}}={\frac {5!}{2!\cdot (5-2)!}}={\frac {5!}{2!\cdot 3!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {4\cdot 5}{1\cdot 2}}=10}$

Für ganze Zahlen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ lassen sich die Binomialkoeffizienten ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ auch durch folgende Rekursionsvorschrift ermitteln:

${\displaystyle {\binom {n}{0}}=1={\binom {n}{n}}}$ für alle ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}}$ für alle ${\displaystyle n>0}$ und für alle ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle 0\leq k<n}$

Mit ihrer Hilfe lassen sich leicht alle Binomialkoeffizienten bis zu einer vorgegebenen Schranke für ${\displaystyle n}$ bestimmen, ein Schema dafür ist das Pascalsche Dreieck: Der rekursive Teil entspricht dort der Tatsache, dass jede Zahl die Summe der beiden über ihr stehenden Zahlen ist.

Beweis

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}&={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}+{\frac {n!}{(k+1)!\cdot (n-(k+1))!}}\\[.5em]&={\frac {(k+1)\cdot n!}{(k+1)\cdot k!\cdot (n-k)!}}+{\frac {n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!\cdot (n-k)}}\\[.5em]&={\frac {(k+1)\cdot n!}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}+{\frac {n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {(k+1)\cdot n!+n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {n!\cdot ((k+1)+(n-k))}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {n!\cdot (n+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}}\\[.5em]&={\frac {(n+1)!}{(k+1)!\cdot ((n+1)-(k+1))!}}\\[.5em]&={\binom {n+1}{k+1}}\end{aligned}}}$

Den Koeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ findet man dabei in der ${\displaystyle n}$-ten Zeile an der ${\displaystyle k}$-ten Stelle (beide ab Null gezählt!):

Das gleiche Dreieck dargestellt in den ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$-Binomialsymbolen:

Für ganzzahlige ${\displaystyle n}$ existiert ein effizienter Algorithmus, der die Produktformel

${\displaystyle {n \choose k}=\prod _{j=1}^{k}{\frac {n+1-j}{j}}}$

des Binomialkoeffizienten anwendet. Auf Grund des stetigen Wechsels zwischen Multiplikation und Division wachsen die Zwischenergebnisse nicht unnötig an. Zusätzlich sind auch alle Zwischenergebnisse natürliche Zahlen.

Um unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden, berechnet man im Fall ${\displaystyle k>{\tfrac {n}{2}}}$ den Binomialkoeffizienten:

${\displaystyle {n \choose n-k}={n \choose k}}$

Der folgende Pseudocode verdeutlicht die Berechnung:

binomialkoeffizient(n, k)
1  wenn 2*k > n dann k = n-k
2  ergebnis = 1
3  für i = 1 bis k
4      ergebnis = ergebnis * (n + 1 - i) / i
5  rückgabe ergebnis

Diese Rechenmethode nutzen auch Taschenrechner, wenn sie die Funktion anbieten. Sonst wäre die Rechenkapazität oftmals für ${\displaystyle n=69}$ erschöpft, da ${\displaystyle 69!<10^{100}<70!}$. Die Beschriftung der Funktionstaste mit nCr beschreibt die Reihenfolge der Eingabewerte in Infixnotation; zunächst Anzahl der Elemente n, dann die Funktionstaste Combinations, dann Anzahl der gewählten Objekte r (im Artikel mit k bezeichnet).

Die Berechnung nPr (engl. Permutations) berücksichtigt die Permutationen der r Elemente, die Division durch ${\displaystyle r!}$ unterbleibt:

${\displaystyle P(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}}$.

In der abzählenden Kombinatorik gibt

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}$

die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von ${\displaystyle k}$ Elementen aus ${\displaystyle n}$ Elementen an. Durch diese Eigenschaft spielt der Binomialkoeffizient eine zentrale Rolle in der Kombinatorik und findet Eingang in die Berechnung und in die Formeln anderer kombinatorischer Größen.

Vergleiche auch: Kombination (Kombinatorik) → Mengendarstellung

Eine andere Interpretation von Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Elementen ist die Anzahl aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge.

Sie kann anschaulich etwa so gedeutet werden:

Zunächst zählt man alle ${\displaystyle k}$-Tupel mit paarweise verschiedenen Elementen, die sich aus der ${\displaystyle n}$-elementigen Ausgangsmenge zusammenstellen lassen. Es gibt ${\displaystyle n}$ Möglichkeiten der Wahl des ersten Tupel-Elements. Nach jeder beliebigen Wahl dieses ersten gibt es nur noch ${\displaystyle n-1}$ Wahlmöglichkeiten für das zweite Element, nach dessen Wahl nur noch ${\displaystyle n-2}$ für das dritte usw., bis hin zu ${\displaystyle n-k+1}$ Wahlmöglichkeiten für das ${\displaystyle k}$-te und letzte Tupel-Element. Die Anzahl aller so zusammengestellten ${\displaystyle k}$-Tupel ist also das Produkt ${\displaystyle n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dotsm (n-k+2)\cdot (n-k+1)}$ von ${\displaystyle k}$ Faktoren, das sich mit Hilfe der Fakultät auch als ${\displaystyle {\tfrac {n!}{(n-k)!}}}$ notieren lässt. Nun sind aber genau je ${\displaystyle k!}$ der gezählten ${\displaystyle k}$-Tupel Permutationen voneinander und entsprechen daher ein und derselben ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmenge. Nach Division durch diese „Zähl-Vielfachheit“ ergibt sich also tatsächlich ${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\tbinom {n}{k}}}$ als die gesuchte Teilmengenanzahl.

Eine andere, symmetrischere Veranschaulichung betont nicht den Akt der Auswahl von ${\displaystyle k}$ aus ${\displaystyle n}$ Elementen, sondern den Aspekt der Zerlegung in zwei Teilmengen aus ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle l:=n-k}$ Elementen. Angenommen, ein ${\displaystyle n=l+k}$-elementiges Ausgangstupel bestehe aus ${\displaystyle k}$ roten und ${\displaystyle l}$ weißen irgendwie aufgereihten Elementen. Bildet man alle ${\displaystyle (k+l)!}$ Permutationen dieser Aufreihung, so sind je ${\displaystyle k!\cdot l!}$ davon farblich ununterscheidbar, denn je ${\displaystyle k!}$ Permutationen der roten Elemente untereinander ändern nichts an der Farbsequenz, ebenso wenig wie je ${\displaystyle l!}$ davon unabhängige Permutationen innerhalb der weißen. Es gibt also nur ${\displaystyle {\tfrac {(k+l)!}{k!\cdot l!}}={\tbinom {k+l}{k}}={\tbinom {k+l}{l}}}$ farblich verschiedene Sequenzen der Länge ${\displaystyle k+l}$ mit allen möglichen unterschiedlichen Belegungen durch je ${\displaystyle k}$ rote Elemente. Jede Sequenz lässt sich nun aber eineindeutig einer der ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle k+l}$-elementigen Menge zuordnen. Dasselbe gilt wegen der Symmetrie von rot und weiß oder von ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle l}$ auch für die komplementären ${\displaystyle l}$-elementigen Teilmengen. Die Gesamtzahl dieser Teilmengen ist damit je ${\displaystyle {\tbinom {k+l}{k}}={\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}={\tbinom {k+l}{l}}}$.

Für die Anzahl der möglichen Ziehungen oder Tippscheine beim deutschen Lotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl oder Superzahl) gilt:

${\displaystyle {\tbinom {49}{6}}=13.983.816\approx 14\ {\text{Millionen}}}$

Es gibt hier offensichtlich genau eine Möglichkeit, 6 Richtige zu tippen. ${\displaystyle {\tbinom {43}{6}}}$ zählt die Möglichkeiten für 0 Richtige, nämlich alle 6 Tipps aus den 43 Falschen zu wählen. Die Anzahl verschiedener Tipps mit 5 Richtigen ergibt sich zu ${\displaystyle 6\cdot 43=258}$, denn es gibt 6 Möglichkeiten, nur 5 der 6 gezogenen Zahlen zu tippen (oder eine davon auszulassen), und dann jeweils ${\displaystyle 43=49-6}$ Möglichkeiten, den ausgelassenen Tipp auf eine der 43 falschen Zahlen zu setzen. Allgemein ergibt sich die Anzahl der verschiedenen Tipps mit ${\displaystyle r}$ Richtigen bei 6 aus 49 mit derselben Überlegung zu ${\displaystyle {\tbinom {6}{r}}\cdot {\tbinom {43}{6-r}}}$. Bei 6, 0 und 5 Richtigen fällt kaum auf, dass die verwendeten Faktoren ${\displaystyle 1={\tbinom {6}{6}}={\tbinom {6}{0}}={\tbinom {43}{0}}}$, ${\displaystyle 6={\tbinom {6}{5}}}$ und ${\displaystyle 43={\tbinom {43}{1}}}$ eigentlich einfache Binomialkoeffizienten sind. Die Summe aller genannten Tippzahlen ergibt die Gesamtzahl 13983816 aller möglichen Tipps – das folgt aus der unten angegebenen Vandermondeschen Identität.

Die Wahrscheinlichkeit für 6 mit einem Tipp erzielte Richtige ist also ${\displaystyle 1/13983816}$, die für 5 Richtige ist ${\displaystyle 258/13983816}$. Für 0 Richtige ergeben sich mit ${\displaystyle 6096454/13983816}$ schon etwa 44 %. Die allgemeine Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tbinom {6}{r}}\cdot {\tbinom {43}{6-r}}/{\tbinom {49}{6}}}$ für ${\displaystyle r}$ Richtige ist ein Spezialfall der hypergeometrischen Verteilung, die gerade drei Binomialkoeffizienten derart kombiniert.

Ein weiteres Beispiel behandelt einen Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus insgesamt ${\displaystyle {\color {red}\mathrm {a} }}$ roten, ${\displaystyle {\color {green}\mathrm {b} }}$ grünen und ${\displaystyle {\color {blue}\mathrm {c} }}$ blauen Murmeln genau ${\displaystyle {\color {Red}\mathrm {d} }}$ rote, ${\displaystyle {\color {Green}\mathrm {e} }}$ grüne und ${\displaystyle {\color {Blue}\mathrm {f} }}$ blaue Murmeln gezogen werden, wobei insgesamt ${\displaystyle \mathrm {d} +\mathrm {e} +\mathrm {f} }$ Murmeln herauszunehmen sind, hat folgenden Wert:

${\displaystyle P={\binom {\color {red}a}{\color {Red}d}}{\binom {\color {green}b}{\color {Green}e}}{\binom {\color {blue}c}{\color {Blue}f}}\div {\binom {{\color {red}a}+{\color {green}b}+{\color {blue}c}}{{\color {Red}d}+{\color {Green}e}+{\color {Blue}f}}}={\frac {a!\,b!\,c!\,(d+e+f)!\,(a+b+c-d-e-f)!}{d!\,e!\,f!\,(a-d)!\,(b-e)!\,(c-f)!\,(a+b+c)!}}}$

Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt ${\displaystyle {\color {red}\mathrm {4} }}$ roten, ${\displaystyle {\color {green}\mathrm {5} }}$ grünen und ${\displaystyle {\color {blue}\mathrm {6} }}$ blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau ${\displaystyle {\color {Red}\mathrm {1} }}$ rote, ${\displaystyle {\color {Green}\mathrm {2} }}$ grüne und ${\displaystyle {\color {Blue}\mathrm {3} }}$ blaue Murmeln befinden, exakt ${\displaystyle 160/1001}$:

${\displaystyle P={\binom {\color {red}4}{\color {Red}1}}{\binom {\color {green}5}{\color {Green}2}}{\binom {\color {blue}6}{\color {Blue}3}}\div {\binom {{\color {red}4}+{\color {green}5}+{\color {blue}6}}{{\color {Red}1}+{\color {Green}2}+{\color {Blue}3}}}={\frac {4\times 10\times 20}{5005}}={\frac {160}{1001}}=0{,}{\overline {159840}}}$

Weitere Beispiele siehe unter: Kombination (Kombinatorik) → Beispiele

Die kombinatorische Deutung erlaubt auch einfache Beweise von Relationen zwischen Binomialkoeffizienten, etwa durch doppeltes Abzählen. Beispiel: Für ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ gilt:

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$

Beweis: Es sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-elementige Menge und ${\displaystyle x\in X}$ ein festes Element. Dann zerfallen die ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen von ${\displaystyle X}$ in zwei Klassen:

• die Teilmengen, die ${\displaystyle x}$ enthalten; sie bestehen also aus ${\displaystyle x}$ zusammen mit einer ${\displaystyle (k-1)}$-elementigen Teilmenge der ${\displaystyle (n-1)}$-elementigen Menge ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$,
• die Teilmengen, die ${\displaystyle x}$ nicht enthalten; sie sind ${\displaystyle k}$-elementige Teilmengen der ${\displaystyle (n-1)}$-elementigen Menge ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$.

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Die Menge aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer Menge ${\displaystyle M}$ wird wegen ihrer Mächtigkeit ${\displaystyle {\tbinom {\left|M\right|}{k}}}$ gelegentlich auch mit ${\displaystyle {\tbinom {M}{k}}}$ bezeichnet. Damit gilt für jede endliche Menge ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \left|{M \choose k}\right|={\left|M\right| \choose k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dotsb +{\binom {n}{n}}=2^{n}}$

Dieser Formel liegt ein kombinatorischer Sachverhalt zu Grunde. Da ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ die Anzahl aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge ist, ergibt sich durch die Summation die Anzahl aller ihrer Teilmengen, also ${\displaystyle 2^{n}}$. Die Formel lässt sich auch aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem man ${\displaystyle x=y=1}$ setzt.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}\mp \dotsb +(-1)^{n}{\binom {n}{n}}=0}$ für ${\displaystyle n>0}$.

Diese Formel folgt für ungerade ${\displaystyle n}$ aus der Symmetrie des Binomialkoeffizienten. Für beliebige ${\displaystyle n}$ lässt sie sich aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem ${\displaystyle x=1}$ und ${\displaystyle y=-1}$ (oder ${\displaystyle x=-1}$ und ${\displaystyle y=1}$) gesetzt wird.

Durch Subtraktion bzw. Addition obiger Gleichungen ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}=0}$ und anschließende Halbierung ist für ${\displaystyle n>0}$ zu erhalten:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\binom {n}{2k}}=2^{n-1}}$ wie auch ${\displaystyle \sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\binom {n}{2k+1}}=2^{n-1}}$;

hierbei sind [] Gaußklammern.

Ausgehend vom Induktionsanfang ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{m=1}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n}{n}}+{\binom {n+1}{n}}={\binom {n+1}{n+1}}+{\binom {n+1}{n}}={\binom {n+1+1}{n+1}}}$ für beliebiges ${\displaystyle n}$, der die Rekursionsvorschrift für Binomialkoeffizienten nutzt, ist mit Induktion nach ${\displaystyle m}$ unter erneuter Nutzung der Rekursionsvorschrift leicht zu beweisen:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n}{n}}+{\binom {n+1}{n}}+\dotsb +{\binom {n+m}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$;

wegen Symmetrie der Summanden wie auch der Summe gilt ebenso:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n+1}{1}}+\dotsb +{\binom {n+m}{m}}={\binom {n+m+1}{m}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$.

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}={\binom {m+n}{k}}.}$

Es gibt auch hier ein kombinatorisches Argument: Die rechte Seite entspricht der Anzahl von ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle (m+n)}$-elementigen Menge von Kugeln. Man kann sich nun vorstellen, dass die Kugeln zwei verschiedene Farben haben: ${\displaystyle m}$ Kugeln seien rot und ${\displaystyle n}$ Kugeln grün. Eine ${\displaystyle k}$-elementige Teilmenge besteht dann aus einer gewissen Anzahl ${\displaystyle j}$ von roten Kugeln und ${\displaystyle k-j}$ vielen grünen. Für jedes mögliche ${\displaystyle j}$ gibt der entsprechende Summand auf der linken Seite die Anzahl der Möglichkeiten für solch eine Aufteilung in rote und grüne Kugeln an. Die Summe liefert die Gesamtzahl. Ein oft als einfacher empfundener Beweis verwendet den Binomischen Lehrsatz in der Form

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k},}$

sowie den Ansatz

${\displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}=(1+x)^{m+n}}$

und Koeffizientenvergleich.

Im Spezialfall ${\displaystyle k=m=n}$ ergibt sich aus der Vandermondeschen Identität folgende Formel für die Quadratsummen:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}^{2}={\binom {2n}{n}}=\operatorname {CBC} (n)}$

Mit dem Kürzel ${\displaystyle \operatorname {CBC} }$ wird der Mittlere Binomialkoeffizient (Zentralbinomialkoeffizient, Central Binomial Coefficient) gekennzeichnet.

Für ${\displaystyle n,r\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\geq r}$ gilt ${\displaystyle \sum \limits _{i=r}^{n}{\begin{pmatrix}i\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n+1\\r+1\end{pmatrix}}}$. Der Name Hockey-Stick-Identität (Hockeyschläger-Identität) rührt von der graphischen Darstellung der Identität auf dem Pascalschen Dreieck her: Wenn die einzelnen Summanden und der Wert der Summe selbst farblich hervorgehoben werden, erinnert die Form an einen Hockeyschläger.

Die Fibonacci-Zahlenfolge ist eine unendliche Folge aus natürlichen Zahlen, welche zweimal mit der Zahl Eins beginnt und bei jede Zahl als Summe der beiden in der Folge vorangehenden Zahlen entsteht. Es gilt also ${\displaystyle F_{1}:=1}$, ${\displaystyle F_{2}:=1}$ und für ${\displaystyle n\geq 3}$ stets ${\displaystyle F_{n}:=F_{n-1}+F_{n-2}}$.

Mit den Binomialkoeffizienten können die Fibonaccizahlen in Form einer geschlossenen Summe dargestellt werden:

${\displaystyle F_{2n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+k}{2k}}}$

${\displaystyle F_{2n+2}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+k+1}{2k+1}}}$

Beispielsweise gilt für diese Fibonacci-Zahlen aus den ungeraden Indizes:

${\displaystyle F_{5}={\binom {2}{0}}+{\binom {3}{2}}+{\binom {4}{4}}=1+3+1=5}$

${\displaystyle F_{7}={\binom {3}{0}}+{\binom {4}{2}}+{\binom {5}{4}}+{\binom {6}{6}}=1+6+5+1=13}$

${\displaystyle F_{9}={\binom {4}{0}}+{\binom {5}{2}}+{\binom {6}{4}}+{\binom {7}{6}}+{\binom {8}{8}}=1+10+15+7+1=34}$

Und es gilt für jene Fibonacci-Zahlen aus den geraden Indizes:

${\displaystyle F_{6}={\binom {3}{1}}+{\binom {4}{3}}+{\binom {5}{5}}=3+4+1=8}$

${\displaystyle F_{8}={\binom {4}{1}}+{\binom {5}{3}}+{\binom {6}{5}}+{\binom {7}{7}}=4+10+6+1=21}$

Die Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg und Paul Pierre Lévy erkannten, dass bei der additiven Überlagerung unendlich vieler kleiner unabhängiger Zufallseffekte zu einem Gesamteffekt die Gaußsche Normalverteilung ergibt. Der Binomialkoeffizient ist für Zahlenpaare a und b jenseits von den natürlichen Zahlen auf folgende Weise definiert:

${\displaystyle {\binom {a}{b}}:={\frac {\Gamma (a+1)}{\Gamma (b+1)\,\Gamma (a-b+1)}}.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion. Mit dieser kontinuierlichen Definition des Binomialkoeffizienten gilt somit der zentrale Grenzwertsatz:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\binom {2n^{2}}{n^{2}+nx}}\div {\binom {2n^{2}}{n^{2}}}=\exp(-x^{2})}$

Gemäß diesem Satz ergibt die infinitesimale Annäherung der Binomialkoeffizientenfunktion nach dem soeben beschriebenen Muster die Gaußsche Glockenkurvenfunktion.

Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, ${\displaystyle n_{0},k_{0}\in \{0,\dotsc ,p-1\}}$ und ${\displaystyle n_{1},k_{1}\in \mathbb {N} }$, dann ist

${\displaystyle {\binom {n_{0}+pn_{1}}{k_{0}+pk_{1}}}\equiv {\binom {n_{0}}{k_{0}}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}{\pmod {p}}.}$

Das heißt, modulo ${\displaystyle p}$ kann ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ mit Hilfe der Darstellungen von ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ zur Basis ${\displaystyle p}$ effizient berechnet werden, nämlich „ziffernweise“.

Wie bereits im Definitionsteil genannt, so lautet die generelle Verallgemeinerung für positive obere Einträge und für reelle untere Einträge wie folgt:

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}=\prod _{z=1}^{\infty }\left(1+{\frac {k}{z}}\right)\left(1+{\frac {\alpha -k}{z}}\right)\left(1+{\frac {\alpha }{z}}\right)^{-1}}$

Eine weitere Verallgemeinerung, die in der Analysis eine Rolle spielt, erhält man, wenn man für den oberen Eintrag eine beliebige komplexe Zahl ${\displaystyle \alpha }$ zulässt, aber den unteren Eintrag weiterhin als ganzzahlig voraussetzt, durch die Definition

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\begin{cases}{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dotsm (\alpha -(k-1))}{k!}},&{\text{wenn }}\quad k>0,\\1,&{\text{wenn }}\quad k=0,\\0,&{\text{wenn }}\quad k<0.\end{cases}}}$

Man spricht auch vom allgemeinen Binomialkoeffizienten „${\displaystyle \alpha }$ über ${\displaystyle k}$“. Diese Definition stimmt für nichtnegative ganzzahlige ${\displaystyle \alpha }$ mit der kombinatorischen Definition (also der Definition von ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ als die Anzahl aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle \alpha }$-elementigen Menge) überein, und für nichtnegative ${\displaystyle k}$ mit der algebraischen Definition (also der Definition von ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ als das Produkt ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{1}}\cdot {\tfrac {\alpha -1}{2}}\dotsm {\tfrac {\alpha -(k-1)}{k}}}$).

Beispielsweise ist

${\displaystyle {2{,}5 \choose 2}={\frac {2{,}5\cdot 1{,}5}{2!}}={\frac {3{,}75}{2}}=1{,}875}$

und

${\displaystyle {-1 \choose k}={\frac {(-1)(-2)\dotsm (-k)}{k!}}=(-1)^{k}.}$

Auch der zweite Parameter ${\displaystyle k}$ lässt sich auf beliebige komplexe Belegung ${\displaystyle z}$ verallgemeinern, wenn mit Hilfe der Betafunktion ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ für ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \{-1,-2,-3,\dotsc \}}$ definiert wird:

${\displaystyle {\binom {\alpha }{z}}={\frac {1}{(\alpha +1)\,\mathrm {B} (z+1,\alpha -z+1)}}={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (z+1)\,\Gamma (\alpha -z+1)}},}$

wobei ${\displaystyle \Gamma (z)}$ die Gammafunktion bezeichnet. Ist dabei ${\displaystyle z}$ oder ${\displaystyle \alpha -z}$ eine negative ganze Zahl, so ist der Wert der rechten Seite 0, weil die nichtpositiven ganzen Zahlen die (einzigen) Polstellen von ${\displaystyle \Gamma (z)}$ sind.

Ersichtlich gilt weiterhin die Symmetriebeziehung

${\displaystyle {\binom {\alpha }{z}}={\binom {\alpha }{\alpha -z}}}$,

insbesondere

${\displaystyle {\binom {\alpha }{1}}={\binom {\alpha }{\alpha -1}}=\alpha }$,

${\displaystyle {\binom {\alpha }{0}}={\binom {\alpha }{\alpha }}=1}$

und bei nichtnegativem ganzen ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\binom {\alpha }{-m}}={\binom {\alpha }{\alpha +m}}=0}$.

Um das Vorzeichen aus dem ersten Parameter zu extrahieren, sofern er ganzzahlig ist, lässt sich die Relation

${\displaystyle {\binom {-\alpha }{k}}=(-1)^{k}{\binom {\alpha +k-1}{k}}}$

angeben.

Allgemein gilt für komplexe ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle z}$ die Beziehung

${\displaystyle {\binom {-\alpha }{z}}=\left(\cos(\pi z)+\sin(\pi z)\cot(\pi \alpha )\right){\binom {\alpha +z-1}{z}}}$.

Eine weitere Verallgemeinerung bieten die Multinomialkoeffizienten, die bei der Verallgemeinerung des binomischen auf den multinomialen Lehrsatz benötigt werden.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ mit ${\displaystyle |z|\geq 1}$ erhält man die Beziehung

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k}{n}}{\frac {1}{z^{k+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\binom {k}{n}}{\frac {1}{z^{k+1}}}={\frac {1}{(z-1)^{n+1}}},}$

die eine Verallgemeinerung der geometrischen Reihe darstellt und zu den binomischen Reihen gehört.

Ist ${\displaystyle |z|\leq 1}$, ${\displaystyle z\neq -1}$ sowie ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, konvergiert die folgende Reihe gemäß

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}z^{k}=(1+z)^{\alpha }.}$

Exaktere Bedingungen für ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle \alpha }$ sind im Artikel Binomische Reihe angegeben.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und erhält man die folgende Beziehung:

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{n}=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {2k+2n-2}{k-1}}{\frac {4\,n}{4^{k+n}(k+n-1)}}\,x^{2k+2n-2}}$

Dieser Ausdruck kann alternativ so mit der Gammafunktion dargestellt werden:

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{n}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {8\,n\,\Gamma (2k+2n-2)}{4^{k+n}\Gamma (k)\,\Gamma (k+2n)}}\,x^{2k+2n-2}}$

Eine weitere Beziehung kann man für alle ${\displaystyle m,n\geq 0}$ relativ einfach mit vollständiger Induktion beweisen,

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{m+k+1}}={\dfrac {1}{(m+n+1)\displaystyle {\binom {m+n}{m}}}},}$

woraus unmittelbar die Symmetrie

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{m+k+1}}=\sum \limits _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{n+k+1}}}$

folgt. Eine Verallgemeinerung für ${\displaystyle z,s\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle -z,-s\notin \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle s+z\neq -1}$ lautet

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\binom {s}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k+1}}={\dfrac {1}{(z+s+1)\displaystyle {\binom {z+s}{s}}}}=\mathrm {B} (z+1,s+1).}$

Mit der letzten Formel aus dem vorherigen Abschnitt ist für ${\displaystyle -z\notin \{0,1,2,\dotsc ,n\}}$

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k}}={\frac {n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}}.}$

Betrachtet man den Fall ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0}$, ersetzt die Brüche in der Summe durch Integrale gemäß

${\displaystyle {\frac {1}{z+k}}=\int \limits _{0}^{1}t^{z+k-1}\mathrm {d} t}$

und fasst die Summe der Potenzen den binomischen Formeln entsprechend zusammen, erhält man

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k}}=\int \limits _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{n}\mathrm {d} t=n^{-z}\int \limits _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\mathrm {d} t,}$

wobei beim letzten Integral die Substitution ${\displaystyle t\to t/n}$ angewendet wurde. Schließlich hat man die Gleichung

${\displaystyle \int \limits _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\mathrm {d} t={\frac {n^{z}\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}},}$

woraus sich durch den Grenzübergang ${\displaystyle n\to \infty }$ direkt die Gaußsche Produktdarstellung der Gammafunktion,

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n^{z}\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}},}$