Bi-konservative Untermannigfaltigkeit ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Für eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle u\colon M\to N}$ definiert man ihre Bi-Energie als ${\displaystyle E_{2}(u):={\frac {1}{2}}\int _{M}\vert \Delta u\vert ^{2}\mathrm {d} v_{g}}$ mit zugehöriger Euler-Lagrange-Gleichung

${\displaystyle \tau _{2}(u):=-\Delta u-(\mathrm {Spur} (R^{N}(\mathrm {d} u,\tau (u))))\mathrm {d} u=0}$,

wobei ${\displaystyle R^{N}}$ der Riemannsche Krümmungstensor und ${\displaystyle \tau (u)=Spur(\nabla du)}$ das Tensionsfeld ist. (Harmonische Abbildungen werden durch ${\displaystyle \tau (u)=0}$ definiert.)

Der Stress-Energie-Tensor der Bi-Energie ist definiert durch

${\displaystyle S_{2}(X,Y):={\frac {1}{2}}\vert \tau (u)\vert ^{2}\langle X,Y\rangle +\langle \mathrm {d} u,\nabla \tau (u)\rangle \langle X,Y\rangle -\langle \mathrm {d} u(X),\nabla Y\tau (u)\rangle -\langle \mathrm {d} u(Y),\nabla _{X}\tau (u)\rangle .}$

Eine Untermannigfaltigkeit heißt bi-konservativ, wenn die sie definierende isometrische Immersion die Gleichung

${\displaystyle \operatorname {div} S_{2}=0}$

erfüllt.

Eine Untermannigfaltigkeit heißt biharmonisch, wenn die sie definierende isometrische Immersion eine biharmonische Abbildung ist. In diesem Fall gilt

${\displaystyle \operatorname {div} S_{2}=-\tau _{2}(u)=0}$,

weshalb biharmonische Untermannigfaltigkeiten stets bi-konservativ sind.

• R. Caddeo, S. Montaldo, C. Oniciuc, P. Piu: Surfaces in three-dimensional space forms with divergence-free stress-bienergy tensor. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 193, No. 2, 529–550 (2014).