Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.
Vorbereitende Definitionen
Ist X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren:
Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren.
Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als
Er ist ein bilinearer Operator. Aus der Definition folgt zunächst das sogenannte Hadamard-Lemma, auch Liesche Entwicklungsformel genannt:
mit und .
Falls und , gelten die
einfachen Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln
- .
Für beliebige und ist die Formel sehr umfangreich und nur noch für in einer Umgebung der konvergierend. Sie lautet dann
mit
Referenzen
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Weblinks
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