In der Computergrafik finden Bézierkurven wegen ihrer optischen Eleganz und der verhältnismäßig leichten mathematischen Handhabbarkeit häufig Anwendung. Sie werden zur Definition von Kurven und Flächen in Vektorgrafiken genutzt. Mögliche Anwendungsfälle finden sich z. B. im Computer Aided Design, bei der Erstellung von Illustrationen (siehe z. B. SVG) oder der Beschreibung von Schrifttypen (z. B. Postscript, Type1, TrueType und CFF-OpenType).
Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën für Computer-Aided Design (computerunterstützte Konstruktion) entwickelt. Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.
Verallgemeinerungen des Konzepts der Bézierkurven führen zu den Bézierflächen.
Numerisch einfache Kurven in der Ebene sind solche, die mit Hilfe
einer Parameterdarstellung beschrieben werden,
wobei und Polynome in sind.
Ist
,
und setzt man , so lässt sich die Kurve übersichtlicher durch
beschreiben.
Im Allgemeinen lässt sich direkt aus den Koeffizienten-Punkten nur wenig über den Kurvenverlauf aussagen. Lediglich (Anfangspunkt der Kurve) und (Tangentialvektor der Kurve an ) haben konkrete geometrische Bedeutungen. Dies ändert sich, wenn man die Polynome nicht in der Monom-Basis, sondern in der folgenden Bernsteinbasis darstellt:
Es sei nun festgewählt und die Vektoren beschreiben ein ebenes oder räumliches Polygon. Dann heißt die Darstellung
eine Bézierkurve[1][2] vom (maximalen) Grad . Die Punkte
nennt man Kontrollpunkte der Bézierkurve.
Eigenschaften der Bernsteinpolynome:
für für
Das Bernsteinpolynom hat genau ein Maximum und zwar an der Stelle D. h. eine leichte Veränderung des Punktes hat nur in der Umgebung von eine wesentliche Veränderung der Kurve zur Folge.
Eigenschaften einer Bézierkurve:
ist der Anfangs-, der Endpunkt
ist die Richtung der Tangente im Punkt ist die Richtung der Tangente im Punkt
Das Polygon gibt einen ungefähren Verlauf der Kurve an.
Weitere Eigenschaften der Bernsteinbasis
Für Untersuchungen von Bézierkurven sind die folgenden Eigenschaften[3] nützlich:
Beziehung zwischen der Bernstein- und der Monom-Basis
(MB)
Rekursion
(R)
Skalierung
(S)
Ableitung
(A)
(Man beachte, dass ist.)
Produkt
(P)
Weitere Eigenschaften einer Bézierkurve
In der Literatur[4] werden noch weitere Eigenschaften einer Bézierkurve aufgelistet:
Die ersten Summanden des Taylorpolynoms bei bzw. bei lauten für :
Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve ist variationsreduzierend, bzw. hat eine beschränkte Schwankung).
Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden („affine Invarianz“).
Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).
Der Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve ist global. Das heißt: Verschiebt man einen Punkt, verändert sich die gesamte Kurve. Daher verwendet man in der Praxis meist Splines, zusammengesetzte Kurven festen Grades, die stetig ineinander übergehen.
Eine Bézierkurve kann immer in zwei Bézierkurven gleicher Ordnung geteilt werden, wobei sich die neuen Kontrollpunkte aus den alten mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ergeben (s. Abschnitt Teilung einer Bézierkurve).
Höhere Potenzen von auszurechnen ist numerisch instabil. Der folgende Algorithmus führt deshalb die Berechnung eines Kurvenpunktes auf wiederholte lineare Interpolation zurück. In jedem Schritt wird mittels linearer Interpolation ein neues um 1 kürzeres Polygon berechnet (s. Bild). Bei der letzten Interpolation entsteht schließlich der Kurvenpunkt:
Für das Polygon im (oder
) und einem definiert man rekursiv für jedes
das Polygon
erzeugt. Dabei sei .
Das Polygon der Stufe ist identisch mit dem Ausgangspolygon, das Polygon der Stufe ist ein Punkt, der Kurvenpunkt.
Aus der Rekursionseigenschaft (R) der Bernsteinpolynome folgt
die Bézierkurve mit dem Kontrollpolygon .
Diese Methode, einen Punkt der Bézierkurve durch lineare Interpolationen
zu bestimmen, heißt De-Casteljau-Algorithmus.
Wie für ein mit Hilfe des Casteljau-Algorithmus aus dem Kontrollpolygon die Zwischenpolygone und schließlich der Punkt der Bézierkurve entsteht, zeigt die Abbildung für . Die neuen Punkte teilen immer die alten Strecken, auf denen sie liegen, im gleichen Verhältnis .
Bézierkurven bis zum dritten Grad
Lineare Bézierkurven :
Zwei Kontrollpunkte und bestimmen eine gerade Strecke zwischen diesen beiden Punkten. Der Verlauf dieser linearen Bézier„kurve“ wird beschrieben durch
Quadratische Bézierkurven :
Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion für die Punkte , und beschrieben wird:
Die letzte Zeile zeigt: Eine quadratische Bézierkurve ist eine Parabel.
Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:
Kubische Bézierkurven :
Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem De-Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden. Selbiges gilt für hermitesche Splines, die in ihrer kubischen Form vor allem in der Computeranimation zur Interpolation zwischen Keyframes verwendet werden.
Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:
Vergleich der Kurvendarstellungen
Polynomiale Kurven (d. h. die Koordinaten sind Polynome bzgl. ) lassen sich in der Monom-Basis, der Bernsteinbasis und mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus (fortgesetzte lineare Interpolation) beschreiben. Da die Koeffizientenpunkte der Monom-Basis nicht viel über den Kurvenverlauf aussagen, entstanden die Darstellungen mit der Bernstein-Basis (Bézier-Kurven) und mit dem De-Casteljau-Algorithmus. Die letzten beiden haben allerdings auch Vor- und Nachteile. Der De-Casteljau-Algorithmus hat gegenüber der Bézierdarstellung bei der Berechnung der Punkte (Numerik) Vorteile. Bézierkurven lassen sich dafür durch die vielen formalen Eigenschaften (s. o.) der Bernstein-Polynome leichter theoretisch (z. B. Krümmung) untersuchen. Der numerische Nachteil der Bézier-Kurven (Auswertung der Bernstein-Polynome) lässt sich durch eine dem Horner-Schema ähnlichen Methode ausgleichen:[5]
functionbezier_comp(degree:integer;coeff:r_array;t:real):real;{Berechnet eine Komponente einer Bezier-Kurve. (Aus FARIN: Curves and Surfaces...)}vari,n_choose_i:integer;fact,t1,aux:real;begint1:=1-t;fact:=1;n_choose_i:=1;aux:=coeff[0]*t1;fori:=1todegree-1dobeginfact:=fact*t;n_choose_i:=n_choose_i*(degree-i+1)divi;aux:=(aux+fact*n_choose_i*coeff[i])*t1;end;aux:=aux+fact*t*coeff[degree];bezier_comp:=aux;end;{bezier_comp}
Ableitungen einer Bézier-Kurve
Mit Hilfe der Ableitungen der Bernsteinpolynome
ergibt sich für die 1. Ableitung der Bézierkurve
:
Lässt man die Tangentenvektoren alle im Nullpunkt des Koordinatensystems
beginnen, so beschreiben sie eine weitere Bézierkurve mit den
Kontrollpunkten .
Speziell gilt:
und
Um höhere Ableitungen übersichtlich schreiben zu können, führt man
folgenden Differenzenoperator ein:[6]
Es ist
Die -te Ableitung der Bézierkurve
lässt sich jetzt wie folgt schreiben:
Speziell für und erhält man
und
Graderhöhung einer Bézierkurve
Eine wichtige Manipulation der Darstellung einer vorgegebenen Bézierkurve ist die sog. Graderhöhung. Sie ist vergleichbar mit dem Anfügen von Termen an ein Polynom
. Dabei ändert sich das Polynom nicht und der
(scheinbare) Grad wird erhöht. Analog stellt man eine fest vorgegebene Bézierkurve in der Form
mit geeigneten neuen Kontrollpunkten dar.
Um die neuen Kontrollpunkte zu bestimmen, multipliziert man die ursprüngliche Darstellung mit dem Faktor :
Wiederholte Graderhöhung führt zu einer Approximation der Bézierkurve durch das Kontrollpolygon.
Die größere Anzahl von Kontrollpunkten bietet mehr Freiheitsgrade, die Kurve zu verändern.
Mehrere Bézierkurven lassen sich auf einen einheitlichen Grad bringen. Dies ist wichtig bei Tensorprodukt-Bézierflächen.
Damit lassen sich auch dann quadratische Bézierkurven als kubische darstellen, falls ein Vektorzeichenprogramm (z. B. Inkscape) bzw. eine Grafikbibliothek (z. B. Cairo) nur kubische unterstützt.
Teilung einer Bézierkurve
Eine Bézierkurve ist normalerweise definiert für
.
Sei nun . Dann ist mit ein Teil der gegebenen Bézierkurve. Es soll nun die Teilkurve als
Bézierkurve mit vom (selben) Grad mit geeigneten Kontrollpunkten dargestellt werden. Setzt man , so muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
Der restliche Bogen ist die Bézierkurve mit den Kontrollpunkten
(s. Abbildung)
Rationale Bézierkurven
Rationale Kurven und projektive Kurven
Bézierkurven sind parametrisierte Kurven, deren Parameterdarstellungen nur Polynome verwenden. Leider lassen sich so wichtige und geometrisch einfache Kurven wie Kreise nicht durch polynomiale Parameterdarstellungen beschreiben. Dieser Nachteil ist u. a. das Motiv für die Erweiterung
der als Parameterfunktionen zulässigen Funktionen auf rationale Funktionen.
Denn jeder Kegelschnitt hat eine rationale Darstellung. Da eine Kurve mit einer rationalen Darstellung
wobei die Funktionen und Polynome sind, in homogenen Koordinaten
die polynomiale Darstellung
besitzt, lassen sich ebene Kurven mit rationalen Koeffizientenfunktionen als
Zentralprojektion einer Bézierkurve im auf die Einbettungsebene
auffassen.
Die analoge Aussage gilt für Kurven im
. Sie lassen sich als Zentralprojektion einer Bézierkurve im
auf den Einbettungsraum auffassen. Damit lassen sich die Vorteile
der Bézier-Darstellung einer polynomialen Kurve auch für rationale
Kurven nutzen.
Ebene rationale Bézierkurven
Es sei nun festgewählt und die Vektoren beschreiben ein Polygon im
. Dann ist
eine (räumliche) Bézier-Kurve vom Grad . Die Punkte
sind die Kontrollpunkte der (räumlichen) Bézierkurve.
Fasst man die 1-dimensionalen Unterräume
als Punkte der reellen projektiven Ebene mit der Ferngerade
auf, so bezeichnet man den affinen Anteil (Projektion vom Nullpunkt aus auf die Ebene ) dieser projektiven Kurve als rationale Bézierkurve.
Die Kontrollpunkte der Bézierkurve im lassen sich folgendermaßen beschreiben:
falls nicht auf der Ferngerade und
falls auf der Ferngerade liegt.
Beim Übergang zu inhomogenen Koordinaten wird ein Kontrollpunkt
entweder auf den affinen Punkt oder auf den Fernpunkt
in Richtung abgebildet.
Der Punkt heißt eigentlicher bzw. uneigentlicher
Kontrollpunkt der rationalen Bézierkurve und die Zahl heißt das
Gewicht des Kontrollpunktes .
Eine rationale Bézierkurve hat folgende affine Beschreibung:[10][11]
wobei für eigentliche und für uneigentliche
Kontrollpunkte zu setzen ist.
Die rationalen Bézierkurven haben (u. a.) die folgenden Eigenschaften:
Sind eigentliche Kontrollpunkte bzw.
die Gewichte einer rationalen Bézierkurve , so gilt
Die Kurve enthält die Kontrollpunkte (erster bzw. letzter Punkt des Kontrollpolygons).
Die Tangente im Punkt bzw. hat die Richtung bzw. .
Eine Erhöhung des Gewichts bewirkt eine Veränderung der Kurve auf den Kontrollpunkt zu. (s. Abbildung)
Zusammenfassung:
Eine ebene rationale Bézierkurve besitzt neben dem Kontrollpolygon noch die Gewichte als Designparameter. Will man eine Kurve erzeugen, legt man zunächst die Kontrollpunkte und die Gewichte fest. Dadurch wird dann auch eine räumliche (gewöhnliche) Bézierkurve mit den Kontrollpunkten definiert. Die Projektion dieser Kurve (vom Nullpunkt aus) auf die x-y-Ebene () liefert dann die ebene rationale Bézierkurve. Eine Variation der Gewichte ändert nicht die Kontrollpunkte , aber die (räumlichen) Kontrollpunkte und damit die zugehörige räumliche Bézierkurve und schließlich auch die (ebene) rationale Bézierkurve. Erhöht man ein Gewicht , so entfernt sich der zugehörige Kontrollpunkt vom Nullpunkt und zieht die räumliche Bézierkurve mit. Der zugehörige Kontrollpunkt dagegen bleibt unverändert. Die rationale Bézierkurve bewegt sich auf ihn zu (s. Bild). Verringert man das Gewicht, bewegt sich die Kurve von dem Kontrollpunkt weg. Falls alle Gewichte 1 sind, ist die rationale Bézierkurve eine gewöhnliche Bézierkurve mit den Kontrollpunkten .
Kegelschnitte als rationale Bézierkurven
Parabel:
Eine Bézierkurve vom Grad zwei mit nicht kollinearen Kontrollpunkten
im
ist immer eine Parabel (s. oben). Um eine Parabel als (ganz-)rationale Bézierkurve darzustellen, wählt man drei nicht kollineare Kontrollpunkte und setzt und . Letzteres bedeutet: Die Kontrollpunkte sind alle eigentlich.
Ellipsen und Hyperbeln lassen sich durch Zentralprojektion von Parabeln im , deren Ebenen nicht den Nullpunkt enthalten, auf die Einbettungsebene erzeugen.
Hyperbel:
Für die Kontrollpunkte
beschreibt
eine Parabel, die auf dem Kegel mit der Gleichung liegt (s. Bild). Die Kontrollpunkte und Gewichte der zugehörigen (ebenen) rationalen Bézierkurve sind:
bzw. :.
sind uneigentliche Kontrollpunkte. Damit ist
und der Nenner (s. o.) der rationalen Komponenten ist .
Also ist die zugehörige rationale Bézierkurve
Dies ist eine rationale Parameterdarstellung eines Astes der Hyperbel mit der Gleichung .
Die Änderung liefert eine rationale Bézierdarstellung der Hyperbel .
Kreis:
In dem folgenden Beispiel sind die Kontrollpunkte der (räumlichen) Parabel:
.
Die Bézierkurve
liegt in diesem Fall auf dem Kegel mit der Gleichung (s. Abbildung).
Die Kontrollpunkte und Gewichte der zu gehörigen rationalen Bézierkurve sind:
bzw. .
ist uneigentlicher Kontrollpunkt. Damit ist
und der Nenner (s. o.) der rationalen Komponenten ist .
Also ist die zugehörige rationale Bézierkurve
Für ist dies eine rationale Parameterdarstellung eines halben Einheitskreises.
Setzt man erhält man eine rationale Bézierdarstellung der Ellipse mit der Gleichung .
Anwendung: Kreisapproximation durch kubische Bézierkurven
Kreise bzw. Kreisbögen lassen sich durch Bézierkurven nicht exakt, sondern nur genähert darstellen. Eine solche Näherung ist z. B. für die Gestaltung einer Typ-1-PostScript-Schrift nötig, da hier nur Strecken und Bézierkurven dritten Grades erlaubt sind. (Jedoch verläuft auch für größere keine Bézierkurve -ten Grades in einem noch so kleinen Kreisbogen mit Radius zum Mittelpunkt , denn liegt genau dann auf dem Kreisbogen, wenn Nullstelle der Polynomfunktion vom Grad ist, was höchstens Male vorkommt – vgl. Fehleranalyse.)
Teilt man einen Kreis in nur zwei (gleich große) Segmente und nähert die Halbkreise durch kubische Bézierkurven, zeigen sich größere Abweichung von der Kreisgestalt. Durch eine feinere Unterteilung in mehr Segmente lässt sich ein Kreis besser nähern. Je geringer der überstrichene Winkelbereich des Kreissegments ist, desto genauer ist die Näherung durch die Bézierkurve.
Eine oft verwendete, einfache Realisierung eines Kreises verwendet vier Viertelkreisbögen, die als kubische Bézierkurven dargestellt werden.
Um die Verbesserung der Näherung durch Verfeinerung der Unterteilung zu demonstrieren, werden in der Folge die Fehler der Halbkreisapproximation und der Viertelkreisapproximation miteinander verglichen.
Notation: Wir untersuchen Approximationen eines Kreises mit folgenden Parametern:
Die zusätzlichen Kontrollpunkte und werden so gewählt, dass zu und zu den Abstand hat.
Beispielkoordinaten Viertelkreis:
Als einfaches Beispiel einer Viertelkreisapproximation wählen wir:
den Mittelpunkt des Kreises als ,
den Kontrollpunkt auf der Kreislinie als ,
den Kontrollpunkt auf der Kreislinie als – die Strecke steht also senkrecht auf , so dass beide Strecken einen Viertelkreissektor bilden –,
den Kontrollpunkt als (auf der Strecke ),
den Kontrollpunkt als (auf der Strecke ).
Die vier Kontrollpunkte liegen also auf dem Rand des Quadrats mit den Eckpunkten , , und . Dies gewährleistet immerhin, dass die Näherungskurve und die Kreislinie in und dieselbe Tangente haben. So ist auch die aus den Viertelkreisapproximationen zusammengesetzte Kurve in den Knotenpunkten „glatt“.
Die kubische Bézierkurve () hat mit diesen Kontrollpunkten folgende Form:
Eine recht gute Approximation des oberen rechten Viertelkreisbogens erhält man mit , wie die nachfolgende Betrachtung zeigt.
Fehleranalyse:
Die Abweichung der gerade angegebenen Bézierkurve vom darzustellenden Kreis lässt sich folgendermaßen quantifizieren:
Ein Punkt der Bézierkurve liegt genau dann auf der vorgegebenen Kreislinie mit Radius um den Mittelpunkt , wenn („Koordinatengleichung“) gilt. Definiert man
so ist das äquivalent zu . ist ein Maß für die Abweichung der Approximation von der Kreisgestalt.
Fordert man dann die Übereinstimmung der Bézierkurve mit dem Kreis bei der Winkelhalbierenden, erhält man
Der Fehler ist Null bei , sonst überall positiv, d. h. die Bézierkurve liegt stets auf oder außerhalb des Kreisbogens. Der maximale Fehler beträgt bei und bei .
Fordert man, dass die aufsummierten Fehler über die gesamte Kurve verschwinden ( kann sowohl positiv als auch negativ sein – die Bézierkurve verläuft teils außerhalb, teils innerhalb der Kreislinie – und das Integral darüber kann Null ergeben), erhält man
Die größten Abweichungen liegen bei etwa und bei . Beide Approximationen sind somit für viele Anwendungsbereiche ausreichend.
Beispielkoordinaten Halbkreis:
Bei einer Halbkreisnäherung mit , , , und , mit beträgt die maximale Abweichung . Dies ist bzgl. der maximalen Abweichung etwa 50 mal schlechter als die Viertelkreisapproximation.
Literatur
Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Auflage. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Vieweg+Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5
David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, 2006, ISBN 0-387-24196-5
Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD. In: Comput. Aided Geom. Des., 1, S. 1–60, 1984
Kebenaran artikel ini dipertanyakan. Kemungkinan isinya berupa hoaks. Harap verifikasi sumber tepercaya yang digunakan di artikel atau bagian-bagiannya, serta tambahkan sumber tepercaya pada klaim yang tidak ada rujukannya. Jika rujukannya tidak tepercaya, cobalah mengusulkan artikel ini untuk dihapus dan/atau menghapus bagian yang dipertanyakan. Jika halaman ini terang-terangan merupakan hoaks, tambahkan {{db-hoax}} agar dapat dihapus dengan cepat. Silakan bicarakan halam...
SMK Bina Potensi PaluInformasiDidirikan18 Desember 2001JenisSekolah Menengah KejuruanAkreditasiBNomor Statistik Sekolah3221860022013 [1]Nomor Pokok Sekolah Nasional40203613 [2]Kepala SekolahMarsan, S.Pd., M.PdJurusan atau peminatanTeknik Informatika, Otomotif dan Keperawatan [3]Rentang kelasX, XI, XIIKurikulumKurikulum 2013StatusSwastaAlamatLokasiJalan Darussalam No. 16, Kelurahan Tatura Utara, Kecamatan Palu Selatan, Palu, Palu, Sulawesi Tengah, IndonesiaTel./Fak...
Castle in Ireland Parts of this article (those related to All) need to be updated. The reason given is: Needs update and expansion. Please help update this article to reflect recent events or newly available information. (June 2023) Dromoland CastleEntrance to Dromoland CastleGeneral informationStatusLuxury hotelTypecastleArchitectural styleGothic RevivalLocationCounty ClareCountryIrelandEstimated completion15th/16th century (original) 1835 (current structure)Design and constructionArchitect(...
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada September 2020. Ari FUJIerror: {{nihongo}}: Butuh teks Jepang atau romaji (bantuan)KewarganegaraanPendidikanUniversitas Rikkyo Ari Fuji (藤 明里code: ja is deprecated , Fuji Ari, kelahiran 1968) adalah pilot komando dan instruktur penerbangan perempuan pertama di...
2003 video gameResident Evil OutbreakNorth American box artDeveloper(s)Capcom Production Studio 1Publisher(s)CapcomDirector(s)Eiichiro SasakiProducer(s)Noritaka FunamizuKatsuhiro SudoTsuyoshi TanakaArtist(s)Yuji ImamuraYoshinori OnoComposer(s)Akihiko MatsumotoTetsuya ShibataEtsuko Yoneda[3]SeriesResident EvilPlatform(s)PlayStation 2ReleaseJP: December 11, 2003NA: March 30, 2004[1]PAL: September 17, 2004[2]Genre(s)Survival horrorMode(s)Single-player, multiplayer Reside...
Community in San Diego County, California 32°41′50.19″N 117°14′49.33″W / 32.6972750°N 117.2470361°W / 32.6972750; -117.2470361 The Wooded Area is a neighborhood within the community of Point Loma, San Diego, California. It encompasses the hilltop area south of Talbot Street on both sides of Catalina Boulevard; the area west of Catalina is also referred to as the College Area. The Wooded Area borders Naval Base Point Loma to the south, La Playa to the east, ...
RussoPу́сский (Rússkij)Parlato in Russia Bielorussia Ucraina Moldavia Kazakistan Mongolia Kirghizistan Uzbekistan Tagikistan Turkmenistan Georgia Azerbaigian Norvegia Finlandia Armenia Estonia Lettonia Lituania LocutoriTotale258,2 milioni (Ethnologue, 2022) Classifica7 (2021) Altre informazioniScritturaalfabeto cirillico TipoSVO flessiva (ordine libero) TassonomiaFilogenesiLingue...
Burmese television series Better TomorrowBurmeseပို၍လှသောမနက်ဖြန် GenreDramaDirected byNyein MinStarring Yan Aung Nay Myo Aung Aung Min Khant Aung Yay Chan Nat Khat Chue Lay May Thinzar Oo Ju Jue Kay Theme music composerMyint Moe AungCountry of originMyanmarOriginal languageBurmeseNo. of episodes25ProductionExecutive producerKhin LayProducers Naing Than Soe Thura Production locationMyanmarEditors Aye Su Su Lwin Hnin Nway Oo Hlaing Honey Lin Running time30 min...
Voce principale: Ascoli Picchio F.C. 1898. Ascoli Calcio 1898Stagione 2012-2013Sport calcio Squadra Ascoli Allenatore Massimo Silva, poi Rosario Pergolizzi, poi Massimo Silva Presidente Roberto Benigni Serie B20º posto (in Lega Pro Prima Divisione) Coppa ItaliaTerzo turno Maggiori presenzeCampionato: Pasqualini, Scalise (39)Totale: Pasqualini, Scalise (41) Miglior marcatoreCampionato: Zaza (18)Totale: Zaza (18) StadioStadio Cino e Lillo Del Duca Maggior numero di spettatori6 057 vs Ter...
San Renato di Sorrento Vescovo Nascita? Morte6 ottobre 450 Venerato daTutte le Chiese che ammettono il culto dei santi Ricorrenza6 ottobre Manuale Renato di Sorrento (... – 6 ottobre 450) sarebbe stato vescovo di Sorrento dal 424 al 6 ottobre 450, ed è venerato come santo dalla chiesa cattolica. Indice 1 Agiografia 2 Note 3 Voci correlate 4 Altri progetti 5 Collegamenti esterni Agiografia Renato di Sorrento sarebbe stato vescovo della diocesi di Sorrento; più probabilmente fu u...
Dalam kimia anorganik dan kimia material, senyawa terner atau fase terner adalah senyawa kimia yang mengandung tiga unsur berbeda. Beberapa senyawa terner bersifat molekuler, misalnya kloroform (HCCl3), sedangkan fase terner yang lebih khas mengacu pada padatan yang diperluas. Contoh terkenalnya adalah perovskit.[1] Fase biner, dengan hanya dua unsur, memiliki tingkat kompleksitas yang lebih rendah daripada fase terner. Dengan empat unsur, fase kuaterner menjadi lebih kompleks. Jumlah...
Railway station in Kamakura, Kanagawa Prefecture, Japan JO08 JS08 Kita-Kamakura Station北鎌倉駅Kita-Kamakura Station, January 2018General informationLocationYamanouchi, Kamakura, Kanagawa(神奈川県鎌倉市山ノ内)JapanOperated byJR EastLine(s)JO Yokosuka Line JS Shōnan-Shinjuku LineHistoryOpened1927PassengersFY20088,596 daily Services Preceding station JR East Following station KamakuraJO07towards Kurihama Yokosuka Line ŌfunaOFNJO09towards Tokyo KamakuraJS07towards Zushi Shōn...
У этого термина существуют и другие значения, см. Золотое кольцо. Ярославль Сергиев Посад Переславль-Залесский Ростов Кострома Иваново Суздаль ВладимирОсновные города Золотого кольца Золото́е кольцо́ Росси́и — туристский маршрут, проходящий по древним городам Севе...
رحلة لذيذةمعلومات عامةالصنف الفني كوميدي، رومانسيتاريخ الصدور 12 يوليو 1971مدة العرض 87 دقيقةاللغة الأصلية العربيةالبلد مصرالطاقمالمخرج فطين عبد الوهابالقصة حسن يوسفالسيناريو والحوار فاروق صبريالبطولة حسن يوسفنجلاء فتحيالتصوير عادل عبد العظيمالموسيقى فؤاد الظاهريال...
شمس الدين البساطي معلومات شخصية الميلاد سنة 1359 بساط، الدقهلية تاريخ الوفاة سنة 1438 (78–79 سنة) مواطنة الدولة المملوكية الحياة العملية التلامذة المشهورون ابن بنت الأقصرائي تعديل مصدري - تعديل شمس الدين أبو عبد الله، محمد بن أحمد بن عثمان بن مقدِّم بن مح�...
Part of a series onAnarchism History Outline Schools of thought Feminist Green Primitivist Social ecology Total liberation Individualist Egoist Free-market Naturist Philosophical Mutualism Postcolonial African Black Queer Religious Christian Jewish Social Collectivist Parecon Communist Magonism Without adjectives Methodology Agorism Illegalism Insurrectionary Communization Expropriative Pacifist Platformism Especifismo Relationship Syndicalist Synthesis Theory Practice Anarchy Anarchist Blac...
American singer-songwriter (born 1941) This article is about the musician. For his debut album, see Bob Dylan (album). Bob DylanDylan in 2010BornRobert Allen Zimmerman (1941-05-24) May 24, 1941 (age 83)Duluth, Minnesota, USOther names Shabtai Zisel ben Avraham (Hebrew name)[1] Elston Gunnn Blind Boy Grunt Bob Landy Robert Milkwood Thomas Tedham Porterhouse Lucky Wilbury Boo Wilbury Jack Frost Sergei Petrov Zimmy Occupations Singer-songwriter painter writer Years active1...
Saint-Barthélemy-d'Agenaiscomune (dettagli) LocalizzazioneStato Francia Regione Nuova Aquitania Dipartimento Lot e Garonna ArrondissementMarmande CantoneLes Coteaux de Guyenne TerritorioCoordinate44°31′N 0°22′E44°31′N, 0°22′E (Saint-Barthélemy-d'Agenais) Altitudine95 m s.l.m. Superficie15,21 km² Abitanti523[1] (2009) Densità34,39 ab./km² Altre informazioniCod. postale47350 Fuso orarioUTC+1 Codice INSEE47232 CartografiaSaint-Barthélemy-d'...