Arne Eggebrecht ist der älteste Sohn des Schriftstellers Jürgen Eggebrecht (1898–1982) und der Pianistin Elfi Eggebrecht, geborene Stiehr (1905–2000). Seine Brüder sind der Cellist und BarytonspielerJörg Eggebrecht (1939–2009) und der Schriftsteller und Journalist Harald Eggebrecht (geboren 1946).
Neben der Veröffentlichung zahlreicher wissenschaftlicher Schriften initiierte er das Katalogisierungsprojekt Corpus Antiquitatum Aegyptiacarum (CAA), begründete die wissenschaftliche ReiheHildesheimer Ägyptologische Beiträge und war Mitbegründer und Chairman des Komitees für Ägyptologie innerhalb des Internationalen Museumsrates (ICOM) der UNESCO. 1978 wies Eggebrecht anlässlich der Ausstellung Sumer – Assur – Babylon in einem publikumswirksamen Experiment nach, dass die Parther mit Hilfe der so genannten Bagdad-Batterie die Kunst des Galvanisierens beherrscht haben könnten. Ab 1980 führte der Wissenschaftler ein erfolgreiches archäologisches Grabungsunternehmen der Deutschen Forschungsgemeinschaft im östlichen Nildelta bei Qantir in der antiken Hauptstadt PharaoRamses II., Pi-Ramesse.
Eggebrecht trat vehement für einen Neubau als Ergänzung zu den unzureichenden Räumlichkeiten des Museums ein. 2000 konnte der Neubau fertiggestellt und eröffnet werden. Im gleichen Jahr kam es zum Eklat, nachdem Eggebrechts Amtsnachfolgerin, die US-Ägyptologin Eleni Vassilika, in einer nicht öffentlichen Vorstandssitzung geäußert hatte, bei zwei von ihm getätigten Neuerwerbungen des Museums handele es sich um Fälschungen. Weitere Stücke habe Eggebrecht zu überhöhten Preisen gekauft. Diese Befürchtungen wurden von anderen Vorstandsmitgliedern öffentlich gemacht. Die Staatsanwaltschaft leitete daraufhin ein Ermittlungsverfahren gegen Eggebrecht ein, das schließlich eingestellt wurde. Der Streit geriet in Hildesheim durch das Eingreifen mehrerer rivalisierender Kommunalpolitiker, die sich auf unterschiedliche Seiten stellten, zum Politikum. Eggebrecht strengte einen Prozess wegen Rufschädigung an, der mit einer förmlichen „Ehrenerklärung“ der Stadt Hildesheim und Vassilikas zugunsten des langjährigen Museumsdirektors endete.
In den 1980er Jahren baute Eggebrecht eine ungewöhnlich enge Verbindung zum Ostberliner Ägyptischen Museum und dessen Kurator und späteren Leiter Karl-Heinz Priese auf, was sich unter anderem in der Leihgabe von 60 hochklassigen Objekten für die Ausstellung „Ägyptens Aufstieg zur Weltmacht“ 1987 niederschlug.
2005 gab die Stadt Hildesheim zu Ehren des verstorbenen Wissenschaftlers einem direkt am Museum verlaufenden Verbindungsweg (zwischen Dammstraße und Palandtweg) den Namen Arne-Eggebrecht-Weg. Zwei Jahre später wurde außerdem ein Sitzungssaal des Hildesheimer Rathauses nach ihm benannt.
Droge Ägypten. - Sein Hildesheimer Museum ist bis 1993 ausgebucht. In: Die Zeit. Ausgabe Nr. 25/1988; Auf: zeit.de, zuletzt abgerufen am 25. März 2022.