Er war der Sohn von Firmano Bichi und dessen Ehefrau Onorata Mignanelli, einer Halbschwester des späteren Papstes Alexander VII., Kardinal Fabio Chigi. Weitere Kardinäle aus derselben Familie waren Metello Bichi, Alessandro Bichi, Carlo Bichi und Vincenzo Bichi. Antonio Bichi studierte an der Universität Siena, wo er später als Professor der Rechte lehrte. Kardinal Chigi, sein Onkel, berief ihn als Uditore nach Rom, von wo aus er den Kardinal zu einer außerordentlichen Nuntiatur nach Köln begleitete. Danach war Antonio Bichi Internuntius im Burgund, um Herzog Karl von Lothringen zum Gehorsam dem Papst gegenüber zu verpflichten. Von 1642 bis 1652 war er Internuntius in Flandern.