Celsi wurde um 1600 in Rom als Sohn von Ortensio und Porzia Monaldeschi geboren. Als Angehöriger einer Adelsfamilie ist er entfernt mit den Kardinälen Bernardino Spada und Ulderico Carpegna verwandt. Nach seinem Studienabschluss in utroque iure begann er seine kirchliche Laufbahn als Auditor der Römischen Rota und als Referendar in der Apostolischen Signatur.