Alexander Dorn war ein Sohn des bekannteren Komponisten Heinrich Dorn und Bruder des Komponisten Otto Dorn. Er wurde von seinem Vater ausgebildet. Anschließend wurde er Privatmusiklehrer in Polen, musste aber aus gesundheitlichen Gründen seinen Wohnsitz nach Ägypten verlegen, wo er als Dirigent deutscher Männergesangvereine in Kairo und später in Alexandria tätig war. Ab 1865 war er Dirigent der Liedertafel in Krefeld. 1869 wurde er Lehrer für Klavier an der Hochschule für Musik Berlin.
Er hinterließ zahlreiche, heute meist vergessene Werke, darunter eine Anzahl Etüden und leichtere Stücke für Klavierschüler, aber auch Klavierkonzerte (ungedruckt), Werke für Klavier, Operetten für Frauenstimmen, drei Messen für Männerchor und Orchester, das Chorwerk „Der Blumen Rache“ für Soli, Chor und Orchester sowie einige Lieder.