Er war der Sohn des ZoologenOronzio Gabriele Costa (1787–1867). Von 1848 bis 1849 war er Assistent seines Vaters am Lehrstuhl für Zoologie der Universität Neapel. Am 26. Februar 1852 graduierte er in Medizin an jener Universität. Am 29. Oktober 1860 wurde er dort zum Universitätsprofessor für Zoologie ernannt. Er folgte somit seinem Vater als Lehrstuhlinhaber.
Von 1850 an veröffentlichte Costa zahlreiche Abhandlungen über die Fauna in der Region von Neapel.
Literatur
Roberto Antonio Pantaleoni (2005): Interpretation of Achille Costa's data on Neuropterida. In: Bulletin of Insectology. Bd. 58, Nr. 1, S. 71–92. ISSN1721-8861. (PDF; 404 kB) (Memento vom 28. September 2007 im Internet Archive)