Aaron Van Schaick Cochrane wurde ungefähr drei Jahre vor dem Ausbruch des Bürgerkrieges in Coxsackie im Greene County geboren. Er besuchte Gemeinschaftsschulen und das Hudson River Institute in Claverack. 1879 graduierte er am Yale College und zog im selben Jahr nach Hudson. Er studierte Jura. Seine Zulassung als Anwalt erhielt er 1881 und begann dann in Hudson zu praktizieren. Er war 1887 und 1888 City Judge in Hudson. Zwischen 1889 und 1892 bekleidete er den Posten als Bezirksstaatsanwalt (district attorney) im Columbia County. Politisch gehörte er der Republikanischen Partei an.
Man wählte ihn 1901 zum beisitzenden Richter (associate justice) am New York Supreme Court. Er wurde 1915 wiedergewählt. Seine Amtszeit endete 1928. GouverneurNathan Lewis Miller ernannte ihn 1922 zum vorsitzenden Richter (presiding justice) an der Berufungskammer (appellate division) des New York Supreme Courts. Cochrane trat 1928 von seinem Richterposten zurück, war allerdings bis 1941 weiter als offizieller Schiedsrichter (official referee) tätig. Am 7. September 1943 verstarb er in Hudson. Sein Leichnam wurde dann auf dem Riverside Cemetery in Coxsackie beigesetzt.