Åben mængde

I matematik er en åben mængde intuitivt set en mængde U, der opfylder at man, uanset hvilket punkt x i U man starter i, kan bevæge sig en smule rundt i en hvilken som helst retning fra x uden at forlade U. Det er denne intuition der gøres stringent i afsnittet om åbne mængder i metriske rum nedenfor.

Et eksempel på en åben mængde er et åbent interval; et interval uden endepunkter som f.eks. (0,1), der indeholder alle tal mellem 0 og 1, men ikke tallene 0 og 1 selv. Intervallet, [0,1] der også indeholder tallene 0 og 1 er derimod et eksempel på en lukket mængde.

Definition

I metriske rum

Der findes en lille kugle om x i U, der er helt indeholdt i U. Stregerne er stiplede for at indikere, at de pågældende mængders rand ikke er med i mængderne.

I metriske rum benyttes følgende definition på åbne mængder. (Metriske rum er i alt væsentligt blot en generalisering af afstandsbegrebet fra euklidisk rum, så følgende definition gør sig også gældende for Rn og specielt for den reelle tallinje.)

Lad d(x, y) betegne afstanden mellem to punkter x og y i et metrisk rum X. En delmængde U af X kaldes åben, hvis der for ethvert element x i U findes et tal ε > 0, så der om alle y i X med afstand mindre end ε fra x (som altså opfylder d(x, y) < ε) gælder, at y også er et element i U.

Hvis Bε(x) betegner den åbne ε-kugle om x i et metrisk rum X,

,

siger ovenstående altså, at en mængde U er åben, hvis der for alle x i U findes et ε, så Bε(x) er helt indeholdt i U. Dette er desuden ensbetydende med, at ethvert punkt i U er et indre punkt. Bemærk at dette ε typisk vil afhænge af x; hvis x ligger nær randen af mængden U, må ε være tilsvarende lille – dog stadig større end 0.

I topologiske rum

Hovedartikel: Topologisk rum.

I et topologisk rum defineres åbne mængder ikke ved hjælp af andre begreber, men ses som et fundamentalt koncept. Et topologisk rum består af en mængde X og en familie S af delmængder af X. Mængderne i S antages at tilfredsstille visse betingelser, som også tilfredsstilles af åbne mængder i metriske rum med ovenstående definition. En sådan familie S kaldes da en topologi på X og mængderne i S kaldes åbne mængder.

Da betingelserne netop er valgt, så de opfyldes for åbne mængder i metriske rum, vil et metrisk rum altid være et topologisk rum, med en topologi bestående af netop de mængder, der er åbne i metrisk forstand. Det omvendte – at ethvert topologisk rum kan realiseres som et metrisk rum – er imidlertid ikke tilfældet.

Eksempler

Intervallet (0,1) i den reelle tallinje (betragtet med det sædvanlige afstandsmål som metrik) er en åben mængde. For hvert x mellem 0 og 1 vælges ε = min(x, 1 – x). Da vil ε-kuglen om x (som beskrevet ovenfor) være intervallet (x − ε, x + ε), som er indeholdt i intervallet (0,1).

Intervallet [0,1] er derimod ikke en åben mængde. For x = 0 vil enhver ε-kugle om x indeholde negative tal, som jo ikke ligger i intervallet [0,1].

I både metriske og topologiske rum kaldes en mængde lukket, såfremt dens komplement er åbent. Et eksempel på en lukket mængde er intervallet [0,1] ovenfor. Hvorimens man kunne foranlediges til at tro det, er det generelt ikke tilfældet at en mængde enten er åben eller lukket. Det reelle interval (0,1] er ingen af delene, mens den tomme mængde (såvel som hele det pågældende metriske eller topologiske rum) altid vil være både åben og lukket.

Read other articles:

Supercentenarian

Gerarda Huzenkamp Bosgoed pada usia 110 (14 Mei 1980), orang Belanda tertua saat itu Seorang supercentenarian adalah seseorang yang telah hidup atau melewati ulang tahun ke-110 mereka. Usia ini dicapai oleh sekitar satu dalam 1.000 centenarian.[1] Anderson dan lainnya menyimpulkan bahwa supercentenarian hidup dalam suatu kehidupan yang biasanya bebas dari penyakit utama yang berhubungan dengan usia sampai sesaat sebelum rentang hidup manusia maksimum dicapai (antara 110 dan 115 tahun)...

 

 

Psittaculini

Psittaculini nuri bayan maluku TaksonomiKerajaanAnimaliaFilumChordataKelasAvesOrdoPsittaciformesFamiliPsittaculidaeTribusPsittaculini Vigors, 1825 GeneraPrioniturus Eclectus Geoffroyus Tanygnathus Psittinus Psittaculalbs Psittaculini adalah sebuah suku bayan dari keluarga Psittaculidae. Subdivisi-subdivisi dalam suku tersebut bersifat kontroversial. Suku Psittaculini Genus Psittinus Psittinus cyanurus Psittinus abbotti Genus Geoffroyus Geoffroyus geoffroyi Geoffroyus simplex Geoffroyus hetero...

 

 

SMA Negeri 1 Bau-Bau

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Maret 2016. SMA Negeri 1 BaubauInformasiDidirikan1957, dinegerikan 1959-06-11Jumlah kelas44 Ruang kelasJurusan atau peminatanIPA IPS MIA dan IISRentang kelasX MIA, X IIS, XI IPA, XI IPS, XII IPA, XII IPSKurikulumKurikulum Tingkat Satuan Pendidikan dan Kurikulum...

Agence de la consommation (Japon)

Cet article est une ébauche concernant le Japon. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Agence de la consommation (Japon)HistoireFondation 1er septembre 2009CadreType Agence externe (Bureau du Cabinet), bureau du gouvernementDomaine d'activité Droit de la consommationSiège Bâtiment commun n°4 du gouvernement central (depuis 2016)Pays  JaponOrganisationOrganisation mère Bureau du CabinetSites ...

 

 

Ezekiel Jackson

Ezekiel JacksonJackson pada tahun 2012Nama lahirRycklon StephensLahir22 April 1978 (umur 45)[1]Linden, GuyanaAlma materUniversity at BuffaloPasanganJenn Stephens ​(m. 2004)​Anak2Karier gulat profesionalNama ringBig Ryck[2]Big Ryck Hytz[1]Big RycklonBig ZekeEzekiel[1]Ezekiel Jackson[1]Ricky Atlas[1]RycklonRycklon Stephens[1]Tinggi6 ft 4 in (193 cm)[3]Berat309 pon (140 kg)&...

 

 

يوريك

يوريك ابن ثيودوريك الأول والمعروف أيضًا بأسم يفيريك هو ملك القوط الغربيين من 466 وحتى وفاته 484 بعد قتله لشقيقه ثيودوريك الثاني.[1] يوريك (باللاتينية: Euricus, Evaricus, Erwig)‏  فترة الحكم 466 - 486 ثيودوريك الأول ألاريك الثاني معلومات شخصية اسم الولادة (بالقوطية: Aiwareiks)‏  تاريخ الم...

イスラームにおける結婚

イスラームにおける結婚（イスラームにおけるけっこん）とは、二者の間で行われる法的な契約である。新郎新婦は自身の自由な意思で結婚に同意する。口頭または紙面での規則に従った拘束的な契約は、イスラームの結婚で不可欠だと考えられており、新郎と新婦の権利と責任の概要を示している[1]。イスラームにおける離婚は様々な形をとることができ、個�...

 

 

Process and Reality

1929 book by Alfred North Whitehead Process and Reality Process and Reality is a book by Alfred North Whitehead, in which the author propounds a philosophy of organism, also called process philosophy. The book, published in 1929, is a revision of the Gifford Lectures he gave in 1927–28. We diverge from Descartes by holding that what he has described as primary attributes of physical bodies, are really the forms of internal relationships between actual occasions. Such a change of thought is ...

 

 

Parti libéral constitutionnaliste

Pour les articles homonymes, voir Parti libéral et Parti constitutionnaliste. Parti libéral constitutionnaliste(es) Partido Liberal Constitucionalista Logotype officiel. Présentation Président Arnoldo Alemán Fondation 1968 Scission de Parti libéral nationaliste Siège Barrio 3-80, Pista de LaResistencia, Managua Positionnement Droite Idéologie ConservatismeLibéralisme Couleurs Rouge Site web www.PLC.org.ni Représentation Députés 14  /  92 Parlement centraméricain 3 ...

ヨハネス12世 (ローマ教皇)

ヨハネス12世 第130代 ローマ教皇 教皇就任 955年12月16日教皇離任 964年5月14日先代 アガペトゥス2世次代 レオ8世個人情報出生 937年スポレート公国（中部イタリア）スポレート死去 964年5月14日 教皇領、ローマ原国籍 スポレート公国親 父アルベリーコ2世（スポレート公）、母アルダその他のヨハネステンプレートを表示 ヨハネス12世（Ioannes XII、937年 - 964年5月14日）は、ロ...

 

 

Парад на честь дня Незалежності України

Парад на честь дня Незалежності Парад на честь дня НезалежностіПарад на честь Дня Незалежності. Київ, 2017Місце  УкраїнаЗасновано 1994Дата 24 серпняСвяткування Військовий парадПов'язаний з День Незалежності України  Парад на честь дня Незалежності України у Вікісхови�...

 

 

Norman Brunsdale

American politician Norman BrunsdaleOfficial portrait, c. 1955United States Senatorfrom North DakotaIn officeNovember 19, 1959 – August 7, 1960Appointed byJohn E. DavisPreceded byWilliam LangerSucceeded byQuentin Burdick24th Governor of North DakotaIn officeJanuary 3, 1951 – January 9, 1957LieutenantRay SchnellClarence P. DahlPreceded byFred G. AandahlSucceeded byJohn E. DavisMember of the North Dakota SenateIn office1927–19351940–1951 Personal detailsBornC...

French Argentines

Argentines of French birth or descent Ethnic group French ArgentinesFranco-ArgentinFranco-argentino Total population6 000 000 ' 17% of Argentina's population[1][better source needed]Regions with significant populationsThroughout Argentina, specially in Central Argentina.LanguagesRioplatense Spanish. Minorities speak French, Occitan and Basque.ReligionPredominantly Roman CatholicismRelated ethnic groupsArgentines of European descent · French people ...

 

 

Stroud (UK Parliament constituency)

Parliamentary constituency in the United Kingdom, 1955 onwards StroudCounty constituencyfor the House of CommonsBoundary of Stroud in GloucestershireLocation of Gloucestershire within EnglandCountyGloucestershireElectorate84,537 (2019 estimate)[1] 79,135 (December 2010)[2]Major settlementsStroud, Dursley, Nailsworth and StonehouseCurrent constituencyCreated1955Member of ParliamentSiobhan Baillie (Conservative)SeatsOneCreated fromStroud & Thornbury1885–1950SeatsOneType of...

 

 

John F. Kennedy Memorial (Hyannis, Massachusetts)

The Memorial's front facade facing Lewis Bay. The John F. Kennedy Memorial is located on Ocean Street in Hyannis, Massachusetts. It overlooks Lewis Bay, where President Kennedy often sailed while in Hyannis Port, Massachusetts. The memorial is a large stone wall with a bronze medallion on each side. President Kennedy's left bust profile is on the front medallion, facing the bay. The Great Seal of the United States[1] is on the back, facing Ocean Street. The memorial’s landscaping in...

Lancia Dedra

Motor vehicle Lancia DedraOverviewManufacturerAlfa-Lancia Industriale (1989–1991)Fiat Auto (1991–1999)Production1989–March 1999418,084 built[1]AssemblyItaly: Chivasso, Piedmont(Chivasso plant)Italy: Rivalta[1]DesignerErcole Spada[2] at I.DE.A Institute[3]Body and chassisClassCompact executive car (D)Body style4-door saloon5-door station wagonLayoutFF layout / AWDPlatformFiat Type Three (Tipo Tre) platform[4]RelatedLancia DeltaFiat TempraA...

 

 

Hot Stuff (1929 film)

1929 film Hot StuffTheatrical release posterDirected byMervyn LeRoyWritten byLouis Stevens (scenario)Humphrey Pearson (dialogue & titles)Story byRobert S. CarrProduced byWid GunningStarringAlice WhiteCinematographySidney HickoxEdited byTerry O. MorseProductioncompanyFirst National PicturesDistributed byFirst National PicturesRelease date May 5, 1929 (1929-05-05) (US) Running time70 minutesCountryUnited StatesLanguagesSound (Part-Talkie)English Intertitles Hot Stuff is a...

 

 

Madhu Limaye

Limaye on a 1997 stamp of India Madhu Limaye (1 May 1922 – 8 January 1995), full name: Madhukar Ramchandra Limaye, was an Indian socialist essayist and activist, particularly active in the 1970s.[1] A follower of Ram Manohar Lohia and a fellow-traveller of George Fernandes, he was active in the Janata government that gained power at the Centre following the Emergency. He, with Raj Narain and Krishan Kant was also responsible for the collapse of the Morarji Desai-led Janata governme...

Nero Multimedia Suite

Computer software Nero 2016 (Nero Platinum Suite, former name is Nero Multimedia Suite)Nero 10 running under Windows 7Developer(s)Nero AGInitial release1997; 27 years ago (1997)[1]Stable release2019 / September 2018; 5 years ago (2018-09)[2] Operating systemWindows 7 and later[3]PlatformIA-32Available inEnglish, Chinese (Simplified), Chinese (Traditional), Czech, Danish, Dutch, Finnish, French, German, Greek, Hungarian, Italian,...

 

 

Chiesa episcopale di Cuba

Chiesa episcopale di CubaClassificazioneanglicana Fondata1901 AssociazioneComunione Anglicana DiffusioneCuba PrimateMiguel Tamayo-Zaldivar (vescovo ad interm)Griselda Delgado Del Carpia (vescovo eletta)[1] Forma di governoepiscopale Congregazioni46 parrocchie Membri10000 Sito ufficialewww.cuba.anglican.org/ La Chiesa di Cuba è una Chiesa extraprovinciale, quindi non ha un vero e proprio primate Modifica dati su Wikidata · Manuale La Chiesa Episcopale di Cuba ((ES) Iglesia Episc...