Ikke-tællelig

En overtællelig mængde eller ikke-tællelig mængde er en mængde så stor, at den er umulig at tælle. Derimod ville en tællelig mængde af tal, hvis man havde ubegrænset tid, kunne stilles op efter størrelsesorden.

Indtil Hippasus fra Metapontum opdagede, at et kvadrat med siden 1, havde en hypotenuse med længden √(2). Eftersom √(2) ikke kan skrives som , altså at hypotenusen er inkommensurabel med kateten, og dermed passe ind i den rationale tallinie, måtte den rationale tallinie nødvendigvis være ufuldstændig. Disse tal, altså tal der ligger uden for den rationale tallinie, kaldes irrationale tal (π,φ,e...). Summen af de rationale tal og de irrationale tal, giver tilsammen den uendelige mængde, de reelle tal.

Georg Cantor's diagonalbevis

De reelle tal, er en mængde af tal vi kalder 'Overtællelige tal'. Det skyldtes altså, at mængden af tal er så stor, at den er ikke-tællelig, den er altså ikke numerabel som eksempelvis mængden af de naturlige tal eller mængden af de rationale tal.

For at bevise de reelle tals over-tællelighed, vil jeg gøre brug af Georg Cantors 2. diagonalbevis. Han anvender den type bevisførelse der hedder indirekte bevis. Princippet i dette er, at man antager det modsatte er sandt, for derefter at bevise dets ugyldighed ved at finde en modstrid. For at gøre det så simpelt som muligt, vil jeg blot bevise at mængden at tal mellem [0;1] er over-tællelig – hvis det er sandt, vil alle de reelle tal samtidig være utællelige. Jeg forestiller mig altså, at der rent faktisk kan foretages en bijektiv afbildning af N på R[0;1] og at jeg derved kan opstille dem i en størrelsesorden, der gør det muligt at tælle alle tal for R[0;1]. Nu gælder det om, logisk at resonere sig frem til en modstrid for dette, og derved vise at det logisk må være antagelsen der er forkert – nemlig at en bijektion afbildning af N→R[0;1] er mulig. Ideen er altså, at man kan opskrive alle tal i R[0;1] op i rækkefølge r1, r2, r3, …rn,. En opstilling kunne så således ud: 

                                    r1 = 0,456734 …
                                    r2 = 0,978562 …
                                    r3 = 0,128346 …
                                    r4 = 0,111113 …
                                     :          :

Her (forestiller vi os) er opstillet alle de reelle tal i [0;1]. Nu skal jeg så logisk bevise, at antagelsen om at alle tal er opstillet, er forkert. Det gør vi ved at danne en ny decimalbrøk t. t = 0,a1a2a3a4…

Hvor a1 ≠ 1. ciffer i r1 - eksempelvis a1 = 8
Hvor a2 ≠ 2. ciffer i r2 - eksempelvis a2 = 3
Hvor a3 ≠ 3. ciffer i r3 - eksempelvis a3 = 2
Hvor a4 ≠ 4. ciffer i r4 - eksempelvis a4 = 6

 Dette fortsættes i det uendelige, til
vi til sidst har t≠rn. Da vi nu har sikret os at
t≠rn og t U [0;1] – har vi fundet en modstrid
for påstanden om, at R[0;1] er tællelig.

Dette vil skabe decimalbrøken t=0,8326… Da der nu er fundet en modstrid i påstanden, ved jeg at [0;1] ikke er numerabel. Der ville derfor ikke være plads nok i Hilberts hotel, til at rumme alle de reelle tal trods det, at han har uendeligt mange værelser. Dette er et eksempel på, at en uendelighed (f.eks. mængden af reelle tal) kan have større kardinaltal end en anden (f.eks. mængden af naturlige tal).

Se også

Read other articles:

Lady Sarah Chatto

Lady Sarah ChattoLahirSarah Frances Elizabeth Armstrong-Jones01 Mei 1964 (umur 59)Istana Kensington, London, InggrisPendidikan Bedales School Camberwell School of Art Middlesex Polytechnic PekerjaanPelukisSuami/istriDaniel Chatto ​(m. 1994)​Anak2Orang tuaAntony Armstrong-Jones, Earl Snowdon ke-1 (bapak)Putri Margaret dari Britania Raya (ibu)Keluarga Keluarga Armstrong-Jones Wangsa Windsor Lady Sarah Frances Elizabeth Chatto (née Armstrong-Jones; lahir 1 Mei...

 

العلاقات الباكستانية الليتوانية

العلاقات الباكستانية الليتوانية باكستان ليتوانيا   باكستان   ليتوانيا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الباكستانية الليتوانية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين باكستان وليتوانيا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدول�...

 

Paul Birch (actor)

American actor (1912–1969) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Paul Birch actor – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2013) (Learn how and when to remove this template message) Paul BirchBirch in 1958BornPaul Lowery Smith(1912-01-13)January 13, 1912Atmore, Alabama, U.S.Di...

SIG Sauer

Swiss-German-American firearms manufacturer This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: SIG Sauer – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2017) (Learn how and when to remove this me...

 

Sharp waves and ripples

Biological phenomenon Sharp waves and ripples (SWRs) are oscillatory patterns produced by extremely synchronised activity of neurons in the mammalian hippocampus and neighbouring regions which occur spontaneously in idle waking states or during NREM sleep.[1] They can be observed with a variety of imaging methods, such as EEG. They are composed of large amplitude sharp waves in local field potential and produced by tens of thousands of neurons firing together within 30–100 ms w...

 

Principauté de Waldeck-Pyrmont

Armes des princes de Waldeck-Pyrmont. La principauté de Waldeck, ou principauté de Waldeck-Pyrmont, est un ancien État du Saint-Empire romain germanique, de la confédération du Rhin, de la Confédération germanique, puis de l'Empire allemand. Géographie Carte de la principauté de Waldeck. D'une superficie d'environ 1 121 km2, sa capitale était Arolsen. Sa population était de 59 000 habitants en 1905. Elle était formée de deux principautés de taille inégale : ...

Luzhou District, New Taipei

District in Taiwan District in Republic of ChinaLuzhou 蘆洲區RoshūDistrictLuzhou DistrictLuzhou District in New Taipei CityCoordinates: 25°05′N 121°28′E / 25.083°N 121.467°E / 25.083; 121.467CountryRepublic of China (Taiwan)Special municipalityNew Taipei CityPopulation (February 2023) • Total200,092Time zone+8Websitewww.luzhou.ntpc.gov.tw (in Chinese) Luzhou District (Chinese: 蘆洲區; Hanyu Pinyin: Lúzhōu Qū; Tongyong Pinyin&#...

 

V Live

V LiveURLvlive.tvTipeSiaran videoBersifat komersial?YaPendaftaranOpsionalBahasaKorea, Inggris, Thai, Spanyol, Vietnam, Portugis, Indonesia, Tionghoa (Sederhana dan Tradisional), JepangPemilikNaver Corporation (2015-2022) Weverse Company (2022-sekarang)Berdiri sejakAgustus 2015; 8 tahun lalu (2015-08)Service retirement31 Desember 2022 NegaraKorea Selatan V Live (ditulis sebagai VLIVE), kadang-kadang disebut sebagai V App, adalah layanan siaran video langsung asal Korea Selatan yang memung...

 

Горностай

У этого термина существуют и другие значения, см. Горностай (значения). Горностай Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:Челюстнороты...

Палеопропитеки

† Палеопропитеки Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:СинапсидыКласс:�...

 

1991 Tamil Nadu Legislative Assembly election

Elections to the legislative assembly of Tamil Nadu 1991 Tamil Nadu Legislative Assembly election ← 1989 15 June 1991 1996 → All 234 seats in the Tamil Nadu Legislative Assembly118 seats needed for a majorityTurnout63.84% (5.85%)   First party Second party   Leader J. Jayalalithaa M. Karunanidhi Party AIADMK DMK Alliance Congress alliance National Front Leader's seat Bargur(retained) Kangayam (vacated) Harbour(vacated) Seats won 225 7 Seat change...

 

Flushing Hospital Medical Center

Hospital in Queens, New York Flushing Hospital Medical Center (also known as Flushing Hospital)[1] is one of the oldest hospitals in New York City.[2] It survived a 1999 bankruptcy[3] and subsequently affiliated first with the New York Presbyterian Hospital and then with the MediSys Health Network. The hospital is also currently affiliated with the New York Institute of Technology College of Osteopathic Medicine to provide clinical rotations for the college's osteopath...

2020年夏季奧林匹克運動會波蘭代表團

2020年夏季奥林匹克运动会波兰代表團波兰国旗IOC編碼POLNOC波蘭奧林匹克委員會網站olimpijski.pl（英文）（波兰文）2020年夏季奥林匹克运动会（東京）2021年7月23日至8月8日（受2019冠状病毒病疫情影响推迟，但仍保留原定名称）運動員206參賽項目24个大项旗手开幕式：帕维尔·科热尼奥夫斯基（游泳）和马娅·沃什乔夫斯卡（自行车）[1]闭幕式：卡罗利娜·纳亚（皮划艇）&#...

 

2014 in the United States

This list is incomplete; you can help by adding missing items. (July 2014) List of events ← 2013 2012 2011 2014 in the United States → 2015 2016 2017 Decades: 1990s 2000s 2010s 2020s 2030s See also: History of the United States (2008–present) Timeline of United States history (2010–present) List of years in the United States 2014 in the United States2014 in U.S. states and territories States Alabama Alaska Arizona Arkansas California Colorado Connecticut Delaware Florida Geor...

 

Konferensi Perdana Menteri Persemakmuran

Para kepala pemerintahan lima anggota Persemakmuran Bangsa-Bangsa di Konferensi Perdana Menteri Persemakmuran 1944 (kiri ke kanan: King, Smuts, Churchill, Fraser, Curtin) Konferensi Perdana Menteri Persemakmuran (bahasa Inggris: Commonwealth Prime Ministers' Conferences) adalah pertemuan dwitahunan para Perdana Menteri Britania Raya dan para anggota Dominion Persemakmuran Bangsa-Bangsa Britania Raya. Tujuh belas Konferensi Perdana Menteri Persemakmuran diadakan antara 1944 dan 1969.[1...

Columbia Journalism Review

American magazine for professional journalists CJR redirects here. For the Japanese company, see Central Japan Railway Company. For the academic journal, see Canadian Journal of Research. Columbia Journalism ReviewEditorKyle Pope[1]CategoriesJournalismjournalism reviewFrequencyBiannually (twice a year)First issue1961; 63 years ago (1961)CompanyColumbia University Graduate School of JournalismCountryUnited StatesLanguageEnglishWebsitecjr.orgISSN0010-194X The Columbia ...

 

Template talk:Irish whiskey

This template does not require a rating on Wikipedia's content assessment scale.It is of interest to the following WikiProjects:Ireland Ireland portalThis template is within the scope of WikiProject Ireland, a collaborative effort to improve the coverage of Ireland on Wikipedia. If you would like to participate, please visit the project page, where you can join the discussion and see a list of open tasks.IrelandWikipedia:WikiProject IrelandTemplate:WikiProject IrelandIreland articles Spirits ...

 

Saturn I SA-1

1961 mission in NASA's Apollo spaceflight program This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (October 2012) (Learn how and when to remove this message) Saturn I SA-1SA-1 lifting offMission typeTest flightOperatorNASAMission duration15 minutesDistance travelled331.5 kilometers (206.0 mi)Apogee136.2 kilometers (84.6 mi) Spacecraft propertiesL...

ペガサス野獣類

ペガサス野獣類Pegasoferae Corynorhinus townsendii 分類 ドメイン : 真核生物 Eukaryota 界 : 動物界 Animalia 門 : 脊索動物門 Chordata 亜門 : 脊椎動物亜門 Vertebrata 綱 : 哺乳綱 Mammalia 上目 : ローラシア獣上目 Laurasiatheria 階級なし : 陰嚢類 Scrotifera 階級なし : ペガサス野獣類 Pegasoferae 学名 PegasoferaeNishihara, Hasegawa & Okada, 2006[1] 目 翼手目 Chiroptera 奇蹄目 Perissodactyla 鱗甲目 Pholidota 食...

 

St Vincent's Private Hospital Melbourne

Not to be confused with St Vincent's Hospital, Melbourne. See also: St Vincent's Private Hospital, Sydney Hospital in Victoria, AustraliaSt Vincent's Private Hospital MelbourneGeographyLocationVictoria, AustraliaCoordinates37°48′31″S 144°58′27″E / 37.8085°S 144.9742°E / -37.8085; 144.9742ServicesBeds480HistoryOpened1998LinksWebsitewww.svphm.org.auListsHospitals in Australia St Vincent's Private Hospital Melbourne, formerly known as St Vincent's & Mercy ...