Store fortjenstkors m. stjerne af Forbundsrepublikken Tysklands fortjenstorden, store fortjenstkors af Forbundsrepublikken Tysklands fortjenestorden, Léonie Sonnings musikpris (1989), Frankfurter Musikpreis (1982), Storofficer af Den Italienske Republiks Fortjensteorden med flere
Kremer fødtes i den lettiske hovedstad som søn af forældre med tysk-jødisk (hans far var Holocaust-overlevende) og lettisk-svensk baggrund.[2] Han begyndte at spille violin i en alder af fire, hvor han modtog instruktioner af sin far og bedstefar, der begge var professionelle violinister. Han fortsatte ved at studere ved Rigas Musikskole og hos David Oistrakh ved Moskva Konservatorium. I 1967 vandt Kremer tredjeprisen ved Queen Elisabeth Music Competition i Bruxelles; dernæst, i 1969, andenprisen ved Montreal International Violin Competition (delt med Oleh Krysa), efterfulgt af førsteprisen ved Premio Paganini i Genova; og endelig førsteprisen i 1970 ved den internationale Tjajkovski-konkurrence i Moskva.
Kremers første koncert i vesten var i Tyskland i 1975, efterfulgt af optrædener ved Salzburg Festivalen i 1976 og i New York City i 1977. I 1981 grundlagde Kremer en festival for kammermusik i Lockenhaus i Østrig. I 1996 grundlagde han Kremerata Baltica kammer orkester, bestående af unge musikere fra Baltikum. Han var også med i den kunstneriske ledelse af festivalen "Art Projekt 92" i München og er direktør for MusiksommerGstaad Festival i Schweiz. I 2008 turnerede han og Kremerata Baltica med den klassiske musikalske komedieduo Igudesman & Joo. Han har også haft regelmæssige optrædener på Verbier Festival indtil sommeren 2011, da han trak sig tilbage.[3]
