PROFILPELAJAR.COM

Metrický prostor, tj. množina vybavená nějakou metrikou, je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je (v dané metrice) cauchyovská, má v této metrice limitu, tj. je konvergentní.

V každém metrickém prostoru jsou konvergentní posloupnosti vždy cauchyovské, jak plyne z trojúhelníkové nerovnosti. Opačně to neplatí například pro metrický prostor racionálních čísel s obvyklou metrikou (která dvěma číslům přiřadí absolutní hodnotu jejich rozdílu). V něm nemá limitu např. posloupnost $3$ , $3.1$ , $3.14$ , $3.141$ , $3.1415$ ..., která v metrickém prostoru reálných čísel konverguje k Ludolfovu číslu $\pi$ , které je iracionální.

Z toho plyne, že racionální čísla nejsou úplným prostorem; lze však dokázat, že reálná čísla úplná jsou.

Úplný obal

Ke každému metrickému prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ existuje takový úplný metrický prostor $\mathbf {M} ^{*}$ , že $\mathbf {M}$ je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor ${\tilde {\mathbf {M} }}$ hustý v $\mathbf {M} ^{*}$ . Prostor $\mathbf {M} ^{*}$ nazýváme úplným obalem metrického prostoru $\mathbf {M}$ .

Platí, že pokud jsou $(\mathbf {M} ^{*},\rho _{1}),(\mathbf {M} ^{**},\rho _{2})$ úplné obaly metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ , pak existuje izometrické zobrazení $f:\mathbf {M} ^{*}\to \mathbf {M} ^{**}$ .

Vlastnosti

Úplný metrický prostor není sjednocením spočetného systému řídkých množin.

Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.

Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže F_n je uzavřená a neprázdná, F_n+1 ⊂ F_n pro každé n, a diam(F_n) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině F_n.
Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný.
Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Příklady úplných prostorů

Prostor reálných čísel $\mathbb {R}$ s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel $\mathbb {C}$ s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný.
Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: $\rho (a,b)=\|a-b\|$ je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu.
Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní).
Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $C(\langle a,b\rangle )$ s metrikou
$\rho (f,g)=\max _{a\leq x\leq b}{|g(x)-f(x)|}$

je úplný.

Příklady neúplných prostorů

Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel $a_{1}=2$ , $a_{2}=2,7$ , $a_{3}=2,71$ , $a_{4}=2,718$ , $a_{5}=2,7182$ a dále dle desetinného rozvoje cisla $e$ , která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Posloupnost tedy není konvergentní v prostoru racionálních čísel.
Jakýkoli (omezený) otevřený či polouzavřený interval na reálné ose je neúplný. Například na intervalu $(0,1\rangle \,\!$ není konvergentní posloupnost

1,{1 \over 2},{1 \over 3},{1 \over 4}\ldots \,\!

ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.

Související články

Banachův prostor – Úplný vektorový prostor.
Banachova věta o pevném bodě
Uzavřená množina
Metrický prostor
Kompaktní množina

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.