Věta o dimenzích jádra a obrazu

Věta o dimenzích jádra a obrazu[1] též zvaná věta o hodnosti a defektu[2] či věta o hodnosti a nulitě[3] je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí jistých podprostorů vektorového prostoru.

Větu lze zformulovat pro lineární zobrazení:

a analogicky i pro matice:

  • počet sloupců libovolné matice je roven součtu její hodnosti a její nulity.

V důsledku pak platí, že lineární zobrazení mezi vektorovými prostory stejné konečné dimenze je izomorfismem, právě když je prosté (injektivní) nebo je na (surjektivní).

Obraz a jádro lineárního zobrazení z prostoru do prostoru .

Formální znění

Pro lineární zobrazení

Nechť je lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory, kde prostor má konečnou dimenzi. Pak platí:

,

kde značí jádro zobrazení a symbol značí podprostor prostoru shodný s oborem hodnot zobrazení .

Pro matice

Lineární zobrazení mezi prostory konečné dimenze lze reprezentovat maticemi. Matice typu nad tělesem odpovídá lineárnímu zobrazení danému předpisem . Obráceně, ke každému lineárnímu zobrazení lze nalézt matici , aby platilo totéž.

Dimenze definičního oboru zobrazení je , což je počet sloupců matice a věta o hodnosti a nulitě pro matici odpovídá vzathu:

.

Verze pro lineární zobrazení je obecnější ve dvou ohledech: prostory a nemusí být aritmetické , resp. , a dokonce ani dimenze cílového prostoru nemusí být konečná.

Navzdory tomu z maticové verze vyplývá i obecnější verze pro zobrazení, protože obor hodnot je ve podprostorem konečné dimenze. Pro i lze volbou libovolných bází získat podprostory izomorfní a , a pak zobrazení reprezentovat maticí . Volba báze prostoru udává i izomorfismus mezi jádry a , a proto obě jádra mají stejnou dimezi. Vztah vyslovený pro matice se pak přenese i na lineární zobrazení.

Ukázka

Kolmá projekce třírozměrného eukleidovského prostoru do roviny dané prvními dvěma osami je lineární zobrazení z prostoru dimenze 3, jehož obor hodnot je dvoudimezionální rovina. Jádrem zobrazení je přímka shodná se třetí osou, čili podprostor dimenze 1.

Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:

.

Zmíněnému zobrazení odpovídá matice

Jádro matice tvoří všechny skalární násobky vektoru , což je podprostor prostoru dimenze 1.

Maticová verze věty odpovídá rovnosti:

,

přičemž na pravé straně vychází počet sloupců matice .

Důkazy

Neformální argument pomocí řešení soustav

Hodnost matice je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců. Její jádro je tvořeno množinou řešení homogenní soustavy lineárních rovnic .

Z výpočtu hodnosti i z řešení Gaussovou eliminací vyplývá, že hodnost odpovídá počtu bázických proměnných, zatímco dimenze jádra počtu volných proměnných. Každá proměnná odpovídá jednomu sloupci matice.

Platnost věty pak vyplývá z jednoduchého argumentu, že celkový počet bázických a volných proměnných je roven počtu sloupců dané matice.

Konstrukce bází

Nechť jsou vektorové prostory nad nějakým tělesem , kde , a nechť je lineární zobrazení z do .

Protože je podprostorem prostoru , má nějakou bázi , kde .

Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů o celkem lineárně nezávislých vektorů na bázi prostoru .

Zbývá ověřit, že množina je jednou z možných bází prostoru .

Pro libovolný vektor existuje alespoň jeden vektor takový, že . Vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze s koeficienty :

Protože je lineární zobrazení, lze libovolně zvolený vektor vyjádřit výrazem:

,

a tak vektory generují prostor .

Při eliminaci první ze sum byl využit předpoklad, že vektory tvoří bázi jádra :

V hypotetické situaci, kdyby vektory netvořily bázi a byly tudíž lineárně závislé, bylo by možné najít koeficienty netriviální lineární kombinace takové, že:

Potom by vektor , daný výrazem , byl netriviálním prvkem jádra, protože:

Ovšem bybylo možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze jádra . V důsledku by vektory netvořily bázi prostoru , protože by byly lineárně závislé, jak dokládá lineární kombinace:

Proto zkoumaný předpoklad, že by vektory byly lineárně závislé, je sporný a ony jsou ve skutečnosti lineárně nezávislé a tudíž tvoří bázi prostoru .

Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rank–nullity theorem na anglické Wikipedii.

  1. HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 142. 
  2. BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. S. 114. 
  3. WERNER, Tomáš. Optimalizace [online]. FEL ČVUT v Praze [cit. 2024-09-11]. S. 43. Dostupné online. 

Literatura

  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články