Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině . Zapisuje se
∫ ∫ -->
⋯ ⋯ -->
∫ ∫ -->
M
f
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
d
x
1
⋯ ⋯ -->
d
x
n
{\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
, kde funkce
f
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
:
R
n
→ → -->
R
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
se nazývá integrand [ 1] a
M
⊂ ⊂ -->
R
{\displaystyle \mathbf {M} \subset \mathbb {R} }
je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na
∫ ∫ -->
M
f
(
x
)
d
n
x
.
{\displaystyle \int _{\mathbf {M} }\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}
Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál , tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.[ pozn. 1]
Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic .
Definice
Motivace
Dvojný integrál jako objem pod plochou.
Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.
Dvojný integrál na obdélníku
Pro
n
>
1
{\displaystyle n>1}
mějme funkci
f
:
I
=
⟨
a
1
,
b
1
⟩
× × -->
⟨
a
2
,
b
2
⟩
× × -->
⋯ ⋯ -->
× × -->
⟨
a
n
,
b
n
⟩
⊆ ⊆ -->
R
n
→ → -->
R
+
{\displaystyle f:\mathbf {I} =\left\langle a_{1},b_{1}\right\rangle \times \left\langle a_{2},b_{2}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n},b_{n}\right\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}
.
Rozdělíme-li každý z intervalů
⟨
a
i
,
b
i
⟩
{\displaystyle \left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle }
na konečnou množinu disjunktních podintervalů
⟨
a
i
,
j
,
b
i
,
j
⟩
{\displaystyle \left\langle a_{i,j},b_{i,j}\right\rangle }
, získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů
I
j
=
⟨
a
1
,
j
,
b
1
,
j
⟩
× × -->
⟨
a
2
,
j
,
b
2
,
j
⟩
× × -->
⋯ ⋯ -->
× × -->
⟨
a
n
,
j
,
b
n
,
j
⟩
{\displaystyle \mathbf {I} _{j}=\left\langle a_{1,j},b_{1,j}\right\rangle \times \left\langle a_{2,j},b_{2,j}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n,j},b_{n,j}\right\rangle }
, pro které platí
I
=
I
1
∪ ∪ -->
I
2
∪ ∪ -->
⋯ ⋯ -->
∪ ∪ -->
I
m
{\displaystyle I=I_{1}\cup I_{2}\cup \cdots \cup I_{m}}
.
(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce
f
{\displaystyle f}
) na intervalu
I
⊆ ⊆ -->
R
n
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
můžeme aproximovat Riemannovým součtem :
∑ ∑ -->
k
=
1
m
f
(
X
k
)
σ σ -->
-->
(
I
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (I_{k})}
,
kdeXk jje prvek intervalu Ik and σ(I k ) je míra intervalu Ik (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů
⟨
a
i
,
b
i
⟩
{\displaystyle \left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle }
) .
Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná , jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu I na podintervaly míry maximálně δ :
S
=
lim
δ δ -->
→ → -->
0
∑ ∑ -->
k
=
1
m
f
(
X
k
)
σ σ -->
-->
(
C
k
)
{\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (C_{k})}
.[ 3]
Jestliže je f is Riemannovsky integrovatelná, tak S se nazývá (vícerozměrný ) Riemannův integral funkce f na intervalu I a píše se
∫ ∫ -->
⋯ ⋯ -->
∫ ∫ -->
I
f
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
d
x
1
⋯ ⋯ -->
d
x
n
{\displaystyle \int \cdots \int _{I}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
.
Na měřitelné množině
Buď funkce
f
{\displaystyle f}
omezená na neprázdné měřitelné množině
M
⊆ ⊆ -->
R
2
{\displaystyle \mathbf {M} \subseteq \mathbb {R} ^{2}}
. Řekneme, že funkce
f
{\displaystyle f}
je na množině
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
(Riemannovsky ) integrovatelná, je-li funkce
M
⋅ ⋅ -->
χ χ -->
M
{\displaystyle \mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }}
definovaná předpisem
(
M
⋅ ⋅ -->
χ χ -->
M
)
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
=
{
f
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
,
pro
x
∈ ∈ -->
M
0
,
pro
x
∈ ∈ -->
R
∖ ∖ -->
M
{\displaystyle \left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\begin{cases}f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right),&{\mbox{pro }}x\in \mathbf {M} \\0,&{\mbox{pro }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbf {M} \end{cases}}}
[ pozn. 2]
integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu
J
⊆ ⊆ -->
R
n
{\displaystyle \mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}}
takovém, že
M
⊆ ⊆ -->
J
{\displaystyle \mathbf {M} \subseteq \mathbf {J} }
.
Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce
f
{\displaystyle f}
na množině
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
pak rozumíme číslo
∫ ∫ -->
⋯ ⋯ -->
∫ ∫ -->
M
f
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
d
x
1
⋯ ⋯ -->
d
x
n
=
∫ ∫ -->
⋯ ⋯ -->
∫ ∫ -->
J
(
M
⋅ ⋅ -->
χ χ -->
M
)
f
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
d
x
1
⋯ ⋯ -->
d
x
n
{\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=\int \cdots \int _{\mathbf {J} }\,\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
.[ 4]
[ pozn. 3]
Pro prázdnou množinu definujeme
∫ ∫ -->
⋯ ⋯ -->
∫ ∫ -->
∅ ∅ -->
f
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
,
x
n
)
d
x
1
⋯ ⋯ -->
d
x
n
=
0
{\displaystyle \int \cdots \int _{\emptyset }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=0}
pro každou funkci
f
:
R
n
→ → -->
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
.[ 4]
Speciální případy
V případě, že
M
⊆ ⊆ -->
R
2
{\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
, tak
∬ ∬ -->
M
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy}
se nazývá dvojný integrál funkce f na M , dále pro
M
⊆ ⊆ -->
R
3
{\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{3}}
je
∭ ∭ -->
M
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \iiint _{M}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}
trojný integrál funkce f na M .
Vlastnosti
Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný určitý integrál . Mezi nimi linearitu , komutativitu .
Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako Fubiniova věta .
Podmínky integrovatelnosti
Je-li funkce
f
:
R
n
→ → -->
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
spojitá v uzavřeném intervalu
J
⊆ ⊆ -->
R
n
{\displaystyle \mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}}
, pak existuje
∬ ∬ -->
M
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy}
.[ 5]
Aplikace
Mezi aplikace vícerozměrného integrálu patří výpočet objemu, hmotnosti a umístění těžiště . Dále například výpočet energie fyzikálního pole .
Poznámky
↑ Příkladem budiž funkce
f
(
x
,
y
)
=
x
2
− − -->
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
{\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}
. Její dvojnásobné integrály
∫ ∫ -->
x
=
0
1
(
∫ ∫ -->
y
=
0
1
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
π π -->
4
\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}
a
∫ ∫ -->
y
=
0
1
(
∫ ∫ -->
x
=
0
1
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
− − -->
π π -->
4
\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}
jsou různé. A tedy tato funkce není integrovatelná.[ 2]
↑
M
⋅ ⋅ -->
χ χ -->
M
{\displaystyle \mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }}
je definována v celém
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
.[ 4]
↑ Tato definice nezávisí na volbě intervalu
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
takového, že
M
⊆ ⊆ -->
J
n
{\displaystyle \mathbf {M} \subseteq \mathbf {J} ^{n}}
.[ 4]
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiple integral na anglické Wikipedii.
↑ MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT [online]. Brno: VUT [cit. 2022-10-11]. S. 145. Dostupné online .
↑ Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák. Herbář funkcí [online]. Ostrava: VŠB TUO, 2011 [cit. 2022-10-11]. Dostupné online .
↑ RUDIN, Walter . Principles of Mathematical Analysis . 3rd. vyd. [s.l.]: McGraw–Hill (Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics). Dostupné online . ISBN 978-0-07-054235-8 . Je zde použita šablona {{Cite book }}
označená jako k „pouze dočasnému použití“.
↑ a b c d VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 13. června 2012 [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině, s. 11. Dostupné online .
↑ VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.2 Dvojný integrál na intervalu, s. 5.
Související články