PROFILPELAJAR.COM

Studentovo rozdělení (t-rozdělení) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice.

Etymologie

Studentovo rozdělení jako první popsal a prakticky využil anglický statistik William Sealy Gosset publikující pod pseudonymem Student.

Rozdělení pravděpodobnosti

Studentovo rozdělení o $n$ stupních volnosti, které označujeme $t(n)$ , je rozdělení náhodné veličiny $X={\frac {U}{\sqrt {\frac {V}{n}}}}$ , kde $U$ a $V$ jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž $U$ má normované normální rozdělení $\operatorname {N} (0,1)$ a $V$ má rozdělení chí kvadrát $\chi ^{2}(n)$ .

Rozdělení $t(n)$ má pro $-\infty <x<\infty$ a $n=1,2,3,...$ hustotu pravděpodobnosti

f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {\pi n}}}}{\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)}^{-{\frac {n+1}{2}}}

kde $\Gamma$ je gama funkce (zobecnění faktoriálu pro reálná čísla).

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení $t(n)$ je

\operatorname {E} (X)=0

pro $n>1$ .

Rozdělení $t(n)$ má rozptyl

\sigma ^{2}(X)={\frac {n}{n-2}}

pro $n>2$ .

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

počet stupňů volnosti N	q_0,95	q_0,975	q_0,99	q_0,995
1	6,31	12,71	31,82	63,66
2	2,92	4,30	6,97	9,93
3	2,35	3,18	4,54	5,84
4	2,13	2,78	3,75	4,60
5	2,02	2,57	3,37	4,03
10	1,81	2,23	2,76	3,17
15	1,75	2,13	2,60	2,95
20	1,73	2,09	2,53	2,85
30	1,70	2,04	2,46	2,75
50	1,68	2,01	2,40	2,68
Limita pro N rostoucí nade všechny meze	1,65	1,96	2,33	2,58

Poznámka: protože t-rozdělení je symetrické, pro kvantily platí, že $q_{p}=-q_{(1-p)}$ .

Poznámka: uvedené kvantily odpovídají kritickým hodnotám pro některé hladiny významnosti (používané například v t-testu), a to

95% kvantil – 10% hladina významnosti
97,5% kvantil – 5% hladina významnosti
99% kvantil – 2% hladina významnosti
99,5% kvantil – 1% hladina významnosti

Vlastnosti

Pro hodnoty $n>30$ je rozdělení $t$ velmi blízké normovanému normálnímu rozdělení.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Studentovo rozdělení na Wikimedia Commons

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.