Schwedlerova věta udává vztah mezi ohybovým momentem a posouvající (smykovou, příčnou) silou, jež představují staticky ekvivalentní náhradu napětí působících v libovolném průřezu ohýbaného přímého nosníku. Věta je připisována německému stavebnímu inženýrovi Johannu Wilhelmu Schwedlerovi, který ji publikoval v roce 1851[1]. Schwedlerova věta se užívá při vyšetřování namáhání nosníků[2]. Schwedlerova věta se také někdy nazývá Schwedler-Žuravského věta[3].
Odvození
Schwedlerova věta popisuje statickou momentovou rovnováhu části nosníku vymezené dvěma průřezy, jejichž vzdálenost se limitně blíží nule:
kde a představují velikost momentové a silové výslednice napětí působících po průřezu nosníku, je velikost spojitého příčného zatížení nosníku, označuje polohu průřezu nosníku po délce nosníku a je označení diferenciálu.
Protože člen je zanedbatelně malý vzhledem ke zbývajícím členům rovnice momentové rovnováhy, lze psát
respektive
(1)
Poslední vztah se označuje jako Schwedlerova věta. Vyplývá z něj, že ohybový moment nabývá extrémních hodnot v místech, kde je posouvající síla nulová.
Na základě podmínky statické rovnováhy pro příčné zatížení nosníku
pro posouvající sílu platí
(2)
a Schwedlerovu větu pak lze vyjádřit ve tvaru
(3)
Pojem Schwedlerova věta se někdy používá pro vztahy (1) – (3)[2], popřípadě ještě pro vztah mezi osovou silou a spojitým osovým zatížením [4], který lze odvodit z podmínky silové rovnováhy ve směru osy nosníku:
Odvození vztahu lze najít v první části Schwedlerovy práce o teorii nosníkových mostních konstrukcí publikovaná v roce 1851, byť v odlišném tvaru [1]:
(4)
kde jsou normálové vnitřní síly působící po výšce průřezu, jsou smykové vnitřní síly působící po výšce průřezu a jsou vzdálenosti působišť sil od spodní strany nosníku. Schwedler při odvození postupoval tak, že nejprve rozdělil nosník myšleným řezem na dvě části, potom sepsal podmínku rovnováhy jedné části nosníku a derivací této podmínky podle dospěl k výše uvedenému vztahu (4).
Zmínku o tom, že Schwedler byl první, kdo poukázal na vztah mezi derivací ohybového momentu a posouvající silou, lze najít v knize Der Bau der Brückenträger z roku 1857[5]. Karl Pearson v knize A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials z roku 1893 toto tvrzení zpochybnil[6]. Pearson však neuvedl, kdo s tímto vztahem přišel před Schwedlerem. Stěpan Prokofjevič Timošenko, profesor inženýrské mechaniky na Stanfordově univerzitě[7], ve své knize History of Strength of Materials z roku 1953 tvrdí, že se nenašel dřívější zmínku o Schwedlerem odvozeném vztahu[8].
Reference
↑ ab
SCHWEDLER, Johann Wilhelm. Theorie der Brückenbalkensysteme. Zeitschrift für Bauwesen. Červenec 1851, roč. 1, čís. 3–4, s. 114–123. Dostupné online.
↑ ab
MICHALEC, Jiří, a kol. Pružnost a pevnost I. 3. vyd. Praha: České vysoké učení technické v Praze, 2010. 308 s. ISBN9788001042243.
↑FRYDRÝŠEK, Karel; TVRDÁ, Katarína; JANČO, Roland; ET AL. Handbook of Structures on Elastic Foundation. 1st. vyd. Ostrava, Czech Republic: VSB – Technical University of Ostrava, 2013. ISBN978-80-248-3238-8. S. 1-1691.Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
↑JANÍČEK, Přemysl; ONDRÁČEK, Emanuel; VRBKA, Jan. Mechanika těles: Pružnost a pevnost I. 2. vyd. Brno: Vysoké učení technické v Brně, 1992. 287 s. Dostupné v archivu pořízeném dne 2015-02-14.Archivováno 14. 2. 2015 na Wayback Machine.
↑
LAISSLE, Friedrich; SCHÜBLER, Adolf. Der Bau der Brückenträger mit wissenschaftlicher Begründung der gegebenen Regeln und mit besonderer Rücksicht auf die neuesten Ausführungen. 1. vyd. Stuttgart: Verlag von Paul Neff, 1857. viii, 156 s. Dostupné online. Kapitola 1, s. 9.
↑
TODHUNTER, Isaac; PEARSON, Karl. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to the present time. Svazek 2. Cambridge: University Press, 1893. Dostupné online. S. 613, 676. 1. část.
↑GERE, James M.; HERRMANN, George; KAYS, William M.; LEE, Erastus H. Memorial Resolution: Stephen P. Timoshenko (1878 – 1972). Stanford: Stanford University Dostupné v archivu pořízeném dne 2016-03-04.Archivováno 4. 3. 2016 na Wayback Machine.
↑
TIMOSHENKO, Stephen P. History of Strength of Materials. New York: Dover Publications, 2003. x, 452 s. ISBN9780486611877.