Ve fyzice je rovnice vedení tepla difuzní rovnicí vyjadřující difuzi tepla v materiálu. Na rozdíl od klasické difuzní rovnice však rovnice vedení tepla nepracuje s hustotou veličiny podléhající difuzi, ale vyjadřovacím prostředkem rovnice vedení tepla je lépe měřitelná a do jisté míry ekvivalentní veličina, teplota. V matematice rovnici vedení tepla často chápeme obecněji v prostoru libovolné konečné dimenze a zpravidla předpokládáme, že transformací souřadné soustavy a vhodnou volbou jednotek je rovnice převedena na tvar bez smíšených derivací a bez fyzikálních konstant. Proto má v matematické literatuře rovince vedení tepla poněkud jiný tvar než v literatuře fyzikální.

Matematická formulace rovnice nestacionárního vedení tepla je

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}.}$

Je běžné označovat ${\displaystyle t}$ jako „čas“ a ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ jako „prostorové proměnné“, a to i v abstraktních kontextech, kde tyto pojmy nemají svůj intuitivní význam. Diferenciální operátor na pravé straně je Laplacián.

Viz též Vedení tepla#Rovnice vedení tepla

Ve fyzikálních a inženýrských aplikacích má rovnice vedení tepla tvar $${\displaystyle \varrho c{\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\lambda \nabla T\right),}$$ kde ${\displaystyle \rho }$ je hustota, ${\displaystyle c}$ je měrná tepelná kapacita, ${\displaystyle \lambda }$ je součinitel tepelné vodivosti, ${\displaystyle \nabla \cdot ()}$ je operátor divergence a ${\displaystyle \nabla T}$ je gradient teploty. Jedná se o rovnici kontinuity bez zdrojů a s tokem vyjádřeným pomocí Fourierova zákona.

Pro homogenní izotropní materiál a součinitel tepelné vodivosti nezávislý na teplotě se rovnice redukuje na $${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}T,}$$kde ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ je Laplaceův operátor a ${\displaystyle \alpha ={\frac {\lambda }{\rho c}}}$ je tepelná difuzivita. Tepelnou difuzivitu je možno chápat jako schopnost materiálu vyrovnávat teplotu.

Pro anizotropní materiál je součinitel tepelné vodivosti obecně tenzorem druhého řádu a v kartézských souřadnicích má rovnice vedení tepla tvar $${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\lambda _{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}\right),}$$kde ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z).}$ Je-li ${\displaystyle \lambda _{ij}}$ symetrický tenzor, je možno vhodnou volbou souřadné soustavy docílit toho, že je tento tenzor představován diagonální maticí, což redukuje rovnici na $${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\lambda _{ii}{\frac {\partial T}{\partial x_{i}}}\right)}$$neboli (po rozepsání sumy) $${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\lambda _{11}{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\lambda _{22}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\lambda _{33}{\frac {\partial T}{\partial z}}\right).}$$

Pro jednorozměrnou tyč se rovnice vedení tepla redukuje na $${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}\right).}$$Pokud součinitel tepelné vodivosti ${\displaystyle \lambda }$ nezávisí ani na poloze (tj. materiál je homogenní) ani na teplotě (tj. materiál má lineární materiálovou charakteristiku, splňuje lineární materiálový vztah), je možné použít formulaci s druhou derivací ve tvaru $${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}$$se součinitelem tepelné vodivosti, nebo $${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}$$s tepelnou difuzivitou.

Rovnici vedení tepla je možno doplnit i členem vyjadřujícím ztráty nebo generování tepla. Například u jednorozměrné rovnice vedení tepla se ztrátami vyzařováním je možné ztráty modelovat podle Stefan-Boltzmannova zákona členem ${\displaystyle \mu \left(T^{4}-v^{4}\right)}$, kde ${\displaystyle v=v(x,t)}$ je teplota okolí a ${\displaystyle \mu }$ je koeficient, který závisí na fyzikálních vlastnostech materiálu. Rovnice má poté tvar$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\rho }}\left(T^{4}-v^{4}\right).}$$

Pro fyzikální interpretaci (například pro jednorozměrný případ) je vhodnější uvažovat rovnici ve tvaru $${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}},\quad q=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}.}$$

• Derivace teploty podle času ${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}}$ udává, jak rychle roste teplota v čase (pro dané místo a daný okamžik).
• Levá strana rovnice ${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}}$ udává, jak rychle roste tepelná energie v jednotkovém množství materiálu (tj. na jednotku délky).
• Derivace teploty podle prostorové souřadnice ${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x}}}$ je jednorozměrný gradient a udává, jak prudce na jednotku délky roste teplota ve směru souřadné osy.
• Výraz ${\displaystyle q=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}}$ podle Fourierova zákona udává tok tepla, tj. množství tepla, které projde průřezem tyče za jednotku času ve směru souřadné osy.
• Výraz ${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial x}}}$ udává nárůst toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce.
• Výraz ${\displaystyle -{\frac {\partial q}{\partial x}}}$udává pokles toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce. Rovnice vyjadřuje, že úbytek v toku tepla v daném místě se "použije" na zvýšení teploty materiálu v tomto místě.

• Rovnice vedení tepla nepředpokládá pohyb prostředí. V případě vedení tepla v pohybujícím se mediu je možné doplnit rovnici dalším členem, který podchycuje efekt přenosu tepla vlivem pohybu prostředí.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Heat equation na anglické Wikipedii.

• Vedení tepla
• Rovnice kontinuity
• Difuzní rovnice
• Fourierův zákon

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Rovnice vedení tepla na Wikimedia Commons