Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$

kde ${\displaystyle a_{n}}$ je koeficient ${\displaystyle n}$-tého členu, ${\displaystyle c}$ je konstanta a ${\displaystyle x}$ se mění v blízkosti ${\displaystyle c}$ (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě ${\displaystyle c}$). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce.

V mnoha situacích je ${\displaystyle c}$ rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}$

Tyto mocninné řady se nejdříve objevily v analýze, ale také se objevují v kombinatorice (pod jménem generující funkce) a v elektrotechnice (pod jménem Z-transformace). Obvyklý desítkový zápis reálných čísel může být také považována za příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty a s pevnou hodnotou argumentu ${\displaystyle x={\frac {1}{10}}}$. Pojem p-adických čísel v teorii čísel také úzce souvisí s mocninnými řadami.

Každý polynom lze vyjádřit jako mocninnou řadu s libovolným středem ${\displaystyle c}$, která má většinu koeficientů rovných nule. Například polynom ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ může být zapsán jako mocninná řada o středu ${\displaystyle c=0}$ jako

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}$

nebo o středu ${\displaystyle c=1}$ jako

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+}$

${\displaystyle 0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}$

nebo o středu ${\displaystyle c}$. Mocninnou řadu můžeme považovat za polynom nekonečného stupně, i když mocninné řady obecně polynomy nejsou.

Vzorec pro geometrickou řadu

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$

který platí pro ${\displaystyle |x|<1}$, je jedním z nejdůležitějších příkladů mocninné řady, stejně jako řada pro exponenciální funkci

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

a vzorec pro funkci sinus

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$

platí pro všechna reálná x. Tyto mocninné řady jsou příkladem Taylorovy řady.

Záporné mocniny nejsou v mocninné řadě povoleny, například ${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ se nepovažuje za mocninnou řadu (i když to je Laurentova řada). Podobně ani neceločíselné mocniny jako ${\displaystyle x^{1/2}}$ nejsou povoleny (jsou povoleny u Puiseuxových řad). Koeficienty ${\displaystyle a_{n}}$ nesmí záviset na ${\displaystyle x}$, takže například:

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$ mocninná řada není.

Mocninná řada konverguje pro některé hodnoty proměnné ${\displaystyle x}$ a může divergovat pro ostatní hodnoty. Všechny mocninné řady ${\displaystyle f(x)}$ s mocninami ${\displaystyle (x-c)}$ konvergují v bodě ${\displaystyle x=c}$. (Správné hodnoty ${\displaystyle f(c)=a_{0}}$ vyžadují interpretaci výrazu ${\displaystyle 0^{0}}$ jako rovnou ${\displaystyle 1}$.) Pokud ${\displaystyle c}$ není jediný bod, kde řada konverguje, pak vždy existuje číslo ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle 0<r\leq \infty }$ takové, že řada konverguje pro každé ${\displaystyle |x-c|<r}$ a diverguje pro každé ${\displaystyle |x-c|>r}$. Číslo ${\displaystyle r}$ se nazývá poloměr konvergence mocninné řady; obecně jej lze zapsat jako

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$

nebo, ekvivalentně,

${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$

(toto je Cauchyova–Hadamardova věta). Rychlý způsob, jak tento výraz spočítat je

${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$

pokud tato limita existuje.

Řady konverguje absolutně pro ${\displaystyle |x-c|<r}$ a konverguje stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině ${\displaystyle \{x:|x-c|<r\}}$. To jest, řada je absolutně a kompaktně konvergentní uvnitř disku konvergence.

Pro ${\displaystyle |x-c|=r}$, nelze obecně říct, zda řada konverguje nebo diverguje. Ale v případě reálných proměnných, Abelova věta říká, že suma řady je spojitá v bodě ${\displaystyle x}$, pokud řada konverguje v bodě ${\displaystyle x}$. V případě komplexní proměnné lze pouze prohlásit spojitost podél úsečky začínající v bodě ${\displaystyle c}$ a končící v bodě ${\displaystyle x}$.

Když jsou dvě funkce ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g}$ rozloženy na mocninnou řadu se stejným středem ${\displaystyle c}$, mocninnou řadu součtu nebo rozdílu funkcí lze získat sčítáním nebo odčítáním po členech. Neboli pokud

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$

pak

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$

Pomocí definice uvedené výše pro mocninnou řadu součinu a podílu funkcí platí:

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}$

Posloupnost ${\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ se nazývá konvoluce posloupností ${\displaystyle a_{n}}$ a ${\displaystyle b_{n}}$.

Pro dělení platí:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$

a pak lze použít postup uvedený výše s porovnáváním koeficientů.

Pokud je funkce zadaná jako mocninná řada, je derivovatelná uvnitř oboru konvergence. Řadu lze snadno derivovat a integrovat člen po členu:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}$

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}$

Obě tyto řady mají stejný poloměr konvergence jako původní.

Funkce ${\displaystyle f}$ definované na nějaké otevřené podmnožině ${\displaystyle U}$ množiny ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nebo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ se nazývá analytická, pokud je lokálně zadaná jako konvergentní mocninná řada. To znamená, že ${\displaystyle \forall a\in U}$ má otevřené okolí ${\displaystyle V\subset U}$, takové, že existuje mocninná řada o středu ${\displaystyle a}$, která konverguje k ${\displaystyle f(x)}$ pro ${\displaystyle \forall x\in V}$.

Každá mocninná řada s kladným poloměrem konvergence je analytická na uvnitř své oblasti konvergence. Všechny holomorfní funkce jsou komplexně analytické. Součty a násobky analytických funkce jsou analytické, stejně jako podíly, pokud je dělitel nenulový.

Pokud funkce je analytická, pak existují její derivace všech řádů, ale opak v reálném případě obecně neplatí. Koeficienty analytické funkce ${\displaystyle a_{n}}$ lze vyjádřit jako

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$

kde ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$ označuje ${\displaystyle n}$-tou derivaci ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$. To znamená, že každá analytická funkce je lokálně reprezentovaná svoji Taylorovou řadou.

Obecná forma analytické funkce je zcela určena svým lokálním chováním v následujícím smyslu: pokud ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g}$ jsou dvě analytické funkce definované na stejné souvislé otevřené množině ${\displaystyle U}$, a pokud ${\displaystyle \forall n\geq 0{\mbox{ }}\exists c\in U,f^{\left(n\right)}\left(c\right)=g^{\left(n\right)}\left(c\right)}$, pak platí ${\displaystyle f\left(x\right)=g\left(x\right)\forall x\in U}$.

Pokud je zadaná mocninná řada s poloměrem konvergence ${\displaystyle r}$, můžeme uvažovat analytické pokračování řady, tj. analytické funkce ${\displaystyle f}$, které jsou definované na větších množinách než ${\displaystyle \{x:|x-c|<r\}}$ a souhlasí se zadanou mocninnou řadou na této množiny. Číslo ${\displaystyle r}$ je maximální v následujícím smyslu: vždy existuje komplexní číslo ${\displaystyle x}$ s ${\displaystyle |x-c|=r}$ takový, že žádné analytické pokračování řady nemůže být v bodě ${\displaystyle x}$.

Rozvoj mocninná řada inverzní funkce analytické funkce může být určena pomocí Lagrangeovy inverzní formule.

V abstraktní algebře, lze zachytit podstatu mocninných řad bez omezení na obor integrity reálných nebo komplexních čísel a bez potřeby uvažovat konvergenci. To vede k pojmu formální mocninné řady, který je velmi užitečný v algebraické kombinatorice.

Rozšíření teorie je nutné pro diferenciální a integrální počet více proměnných. Mocninná řada je zde definované jako nekonečná řada tvaru

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}$

kde ${\displaystyle j=\left(j_{1},\dots ,j_{n}\right)}$ je vektor přirozených čísel, koeficienty ${\displaystyle a_{(j_{1},\dots ,j_{n})}}$ jsou obvykle reálná nebo komplexní čísla, a střed ${\displaystyle c=(c_{1},\dots ,c_{n})}$ a argument ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ jsou obvykle reálné nebo komplexní vektory. V obvyklejší multi-indexové notaci lze napsat

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}$

Teorie takových řad je složitější než teorie řad jedné proměnné, se složitějšími oblastmi konvergence. Například mocninná řada ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ je absolutně konvergentní na ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$ mezi oběma hyperbolami. (Toto je příklad log-konvexní množiny v tom smyslu, že množina bodů ${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$, kde ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ leží v uvedené oblasti, je konvexní množina. Obecněji můžeme ukázat, že pokud ${\displaystyle c=0}$, uvnitř oblasti absolutní konvergence je vždy log-konvexní množina v tom to smyslu.) Na druhou stranu, uvnitř této oblasti konvergence můžeme derivovat a integrovat pod symbolem řady stejně jako v případě normální mocninné řady.

Nechť α je multi-index mocninné řady ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$. Řád mocninné řady ${\displaystyle f}$ se definuje jako nejmenší hodnota ${\displaystyle |\alpha |}$ taková, že ${\displaystyle a_{\alpha }\neq 0}$, nebo ${\displaystyle 0}$ pokud ${\displaystyle f\equiv 0}$. Speciálně pro mocninnou řadu ${\displaystyle f(x)}$ jedné proměnné ${\displaystyle x}$, řád ${\displaystyle f}$ je nejmenší mocnina ${\displaystyle x}$ s nenulovým koeficientem. Tuto definici lze jednoduše rozšířit na Laurentovy řady.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Power series na anglické Wikipedii.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu mocninná řada na Wikimedia Commons
• Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project
• Power series Encyclopedia of Mathematics